Загадано некое положительное число, содержащее конечное количество десятичных знаков. Если в его записи поменять местами цифры, стоящие на первом и третьем местах после запятой, то число увеличится в 19 раз. Что же это за число?

Если в числе 0,0495 поменять местами цифры, стоящие на первом и третьем местах после запятой, то число увеличится в 19 раз: 0,0495 х 19 = 0,9405.
                                                                              

Vasil Stryzhak, конечно же, дал правильный ответ. Но не вполне ясно, как он к нему пришёл. Верный ответ — это, конечно, неплохо. Но для истинного математика решение важно! Я очень люблю математические головоломки, а данную задачу я, так сказать, прочувствовал до мозга костей и отлично понял, как она решается. Привожу ниже полное решение задачи.
У нас есть некое число x. Обозначим его целую часть буквой p. Первую цифру после запятой обозначим как q, вторую как r, третью — как s. Оставшийся хвост мы обозначим как t. Точнее, t — это число, которое получится, если в нашем числе x отбросить целую часть, запятую и первые три цифры после запятой. Но не исключается, что t состоит всего из одной цифры — вот это был бы идеальный вариант!
Как можно представить наше число? У нас десятичная позиционная система счисления. Наше число
x = p + 0,1q + 0,01r + 0,001s + 0,0001t
Его «обращение» обозначим как y. Число y — это то число, которое получится, если в числе x переставить местами первую и третью цифры после запятой. Итак,
y = p + 0,1s + 0,01r + 0,001q + 0,0001t
Далее, по условию задачи, y/x = 19. Подставим сюда выражения для y и для x. Имеем:
(p + 0,1s + 0,01r + 0,001q + 0,0001t)/(p + 0,1q + 0,01r + 0,001s + 0,0001t) = 19
19 * (p + 0,1q + 0,01r + 0,001s + 0,0001t) = p + 0,1s + 0,01r + 0,001q + 0,0001t
19p + 1,9q + 0,19r + 0,019s + 0,0019t = p + 0,1s + 0,01r + 0,001q + 0,0001t
19p – p + 1,9q – 0,001q + 0,19r – 0,01r + 0,019s – 0,1s + 0,0019t – 0,0001t = 0
18p + 1,899q + 0,18r – 0,081s + 0,0018t = 0
Получилось уже приличное уравнение. Далее я рассуждал логически.
1) Во-первых, я сделал предположение, что t, вероятно, как и q, и r, и s — однозначное натуральное число. Правда, строго доказать это я не могу, но такова была моя гипотеза.
2) Во-вторых, рассмотрим наше уравнение. У нас есть четыре увеличивающих одночлена, с плюсом, и один уменьшающий, с минусом.
Так как всё наше число x по условию положительное, то p или натуральное, или ноль.
Может ли p быть ненулевым? Ну уж нет. Возьмём любое ненулевое p. При минимальном ненулевом p (единице) первый член равен 18. На сколько он ещё максимум может уменьшиться? Очевидно, на 0,081 * 9 = 0,729 (ведь s может быть только однозначным). Имеем: 18 – 0,729 = 17,271, и справа никак не может получится нуля. А если увеличивать p, то уж тем более! Итак, p = 0.
3) Уравнение упростилось: 1,899q + 0,18r – 0,081s + 0,0018t = 0. Далее, может ли ненулевым быть q? Путём логических рассуждений находим, что, оказывается, тоже нет. Минимальное ненулевое q — это 1. Первый член будет равен 1,899. Уменьшиться он может максимум опять же на 0,729. Имеем: 1,899 – 0,729 = 1,17 — как видим, в правой части опять же никак не может получиться число ноль. Аналогично пункту 2 мы определили, что q = 0.
4) Теперь уравнение значительно упрощается.
Поскольку p = 0 и q = 0, то:
0,18r – 0,081s + 0,0018t = 0
Умножим обе части на 10000.
1800r – 810s + 18t = 0.
Теперь поделим обе части на 18. Получим:
100r – 45s + t = 0
Или: 100r + t = 45s.
5) И далее я опять рассуждал логически. Может ли s быть равным нулю? Такое возможно только если q = r = s = 0, однако мы получаем, что x = y = 0. Но неверным будет сказать, что «от перестановки первого и третьего знака после запятой ноль увеличивается в 19 раз», потому что в арифметике и алгебре нельзя делить 0/0. Итак, этот случай мы исключим как неверное, побочное решение. Значит, s не равно 0.
6) Может ли s равняться 1 или 2? Если s равно 1 или 2, то в левой части получаем число двузначное. Тогда r = 0 (иначе число будет трёхзначным). Но тогда t = 45 или 90, а этого быть не может, ибо мы предположили, что t есть число однозначное.
7) Значит, s не меньше трёх. При этом число 45s должно раскладываться на слагаемые 100r и t, но поскольку r и t однозначны, то в числе 100r + t второй цифрой должен быть ноль. А далее я применил простой метод полного перебора и перебрал все значение s от 3 до 9:
s = 3, следовательно 45s = 135 — не годится;
s = 4, следовательно 45s = 180 — не годится;
s = 5, следовательно 45s = 225 — не годится;
s = 6, следовательно 45s = 270 — не годится;
s = 7, следовательно 45s = 315 — не годится;
s = 8, следовательно 45s = 360 — не годится;
s = 9, следовательно 45s = 405 — ура, годится! Вторая цифра — ноль. 100r + t = 405.
Мы нашли сразу s, r и t. Итак, r = 4, s = 9, t = 5.
p = 0; q = 0; r = 4; s = 9; t = 5.
Окончательно подставляем все цифры и получаем, что наше число x = 0,0495.
Проверим: y = 0,9405; y/x = 0,9405 : 0,0495 = 19.
Ответ: это число 0,0495.
ссылка