В приведённой ниже таблице можно увидеть примеры чисел семеричной системы счисления. В каждом разряде цифры от «0» до «6». Например, в этой системе есть число «66». Если его перевести в десятичную систему, то мы получим «6*7+6» = «48». А «166» и вовсе будет равно «97» в десятичной.
Где в современной жизни нам встречается семеричная система счисления?

Не припомню столь горячих споров вокруг своих ответов и, тем более, вопросов. Но при всём моём уважении к участникам дискуссии я всё-таки позволю себе вставить «три копейки», а потом буду готов выслушать все упрёки и замечания по существу.
Но сначала всё-таки хотелось бы сказать для остальных пару слов о системах счисления для не посвящённых. Чем отличается одна от другой? Наверное, самая простая из них двоичная. Этот тот случай, когда в одном разряде может оказаться только два числа. Нам привычнее видеть в их качестве «0» и «1», хотя с таким же успехом могли бы быть и любые другие символы. А можно представить себе линейку из светодиодов, в которой каждый из них «горит» или «не горит».
В то же время современные светодиоды умеют менять цвет своего свечения. Например, какой-то может быть в положении «не горит», а в другие моменты «горит жёлтым» или «горит зелёным». И тогда в каждом окошке мы получаем три варианта значений. Это всё равно, что цифрами написать «0», «1» или «2». Три возможных значения - троичная система счисления. При этом двух-разрядное число «00» будет соответствовать двум погашенным светодиодам, число «02» - левый погашен, а правый «горит жёлтым», «12» - «горит жёлтым» левый и «горит зелёным» правый. В привычной нам десятичной системе это будет просто «5».
А теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда в одном разряде может оказаться семь разных значений. И желательно, чтобы минимальное начиналось именно с нуля - этот понятнее для обывателя. Согласитесь, если минимальными значениями в разрядах будут «единицы», нашим мозгам будет затруднительно считать их «нулями». Проще, как в том же домино, чтобы было пусто при минимуме. Кстати, именно о домино я и хотел бы вам рассказать. Ведь разве не у этих милых костяшек мы видим интервал значений от «0» до «6»? А что, если рассмотреть все комбинации, расположив камни горизонтально?
Ограничена ли система числом «66» (десятичное «35»)? На мой взгляд можно купить вторую коробочку с домино и уже следующее десятичное число «36» легко представится двумя камнями «01» слева и «00» справа. Собственно говоря, для «36» вторую коробку брать не обязательно, но в вариантах «22»«52», «43»«34» или «66»«66» одним набором не обойтись.
Как вам идея? По-моему, домино - самая что ни на есть семеричная система счисления.

Кроме приведённого в соседнем ответе примера с семидневной неделей, --- правда, я не понял, где может применяться последовательность дней недели, т.е., собственно, [многоразрядное] число; может быть, какие-нибудь расписания дежурств или распределения некоторых ежегодных празников, вроде Нового Года, по дням недели --- можно, не без некоторой гиперболы, вспомнить семь цветов видимого спектра (радуги) и музыкальную нотную запись.
Однако, для алгебраических операций с цветами обычно используют цветовые пространства меньшей размерности, трёхмерных достаточно (в качестве элементов базиса такого векторного пространства можно выбрать красный, зелёный и синий цвета [для аддитивной модели смешивания]).
Хотя можно себе представить ограниченный режим экрана с индексированными цветами пикселов и маленькой семицветной палитрой. Любую картинку на экране тогда можно будет представить последовательностью 7-битов ("септитов"?), т.е. семеричным числом.
Опять же с известной натяжкой, нотную запись некоторой мелодии можно представить семеричным числом если пронумеровать ноты. Да, не для каждой мелодии семи нот будет достаточно, и, поэтому, нельзя уверенно сказать, что, к примеру, музыка в midi-файлах кодируется семеричными числами, но, надеюсь, аналогия понятна.

Простейший пример - неделя, состоит из 7 дней.