Лайн сложил куб 4х4х4 из 32 белых и 32 черных кубиков 1х1х1. Какое наибольшее количество белых квадратиков 1х1 могло оказаться на поверхности куба?
А) 32
Б) 48
В) 64
Г) 72
Д) 80

Задача не из простых, нам нужно определить сколько кубиков с какой стороны нам нужно поставить и впридачу сделать это так, чтобы черные квадраты были меньше видны.
Сначала мы выстроим маленький куб 2×2×2 черными квадратами это уже 8 кубиков из 64 задействовано, а затем будем обкладывать его вот таким образом.
На первую стену нам понадобиться 16 кубиков, из них в середину мы поставим 4 черных, а по краям 12 белых, так как эти же крайние кубики будут гранями на другой стороне.
Берем вторую сторону, в ней 4 белых кубика с краю уже стоят, добавляем в середину 4 черных и по краям 8 белых.
Таким образом выстраиваем весь куб, ставя черные квадраты в середину и получаем в итоге 64 кубика.
Из рисунка видим, что на каждой стороне всего 12 белых квадрата, умножаем на 6 сторон, получаем 72.
Ответ: Г) 72.
                                                                              

Прежде всего считаю необходимым представить себе сам большой куб, который в итоге будет сложен из более мелких чёрных и белых кубиков. Начертим его и внимательно рассмотрим со всех сторон:
А теперь давайте определим, какими свойствами обладают те или иные его ячейки в плане количества показанных их фрагментов. При этом мы с вами мысленно представляем и те ячейки, которые вовсе не видны - они внутри трёхмерной геометрической фигуры. Думаю, что именно им и достанутся в первую очередь чёрные наполнители. В то же время снаружи такое положение дел:
Ячейки внутри граней. Их по 4 на каждой стороне и они демонстрируют минимальное число сторон, размещённых в них кубиков. Всего-то по одной. Это вторая очередь для чёрненьких. На шести сторонах по 4 - 24 штуки.Ячейки в середине рёбер. Таковых по два у каждого ,а самих рёбер можно насчитать двенадцать - тоже имеем число 24. Однако эти ячейки нам интереснее тем, что каждая покажет миру по две грани маленьких кубиков.Ячейки угловые. И не составляет труда их пересчитать - четырьмя куб касается стола, а ещё четыре сверху. То есть итого 8 и каждая угловая ячейка засветит нам по три грани вставленных туда маленьких кубиков.Наиболее естественным в такой ситуации мне видится желание занять первым делом самые козырные места - угловые ячейки. После этого мы получаем 8 кубиков с тремя видимыми гранями. Если кубиков поровну - по 32, то остаётся ещё 24. Но ведь именно столько мест мы имеем на серединках граней - их 24. Теперь давайте просуммируем все видимые квадратики:
Угловые: 8 * 3 = 24 квадратика;Рёбра: 24 * 2 = 48 квадратиков;Итого: 24 + 48 = 72 квадратика.В то же время хотелось бы узнать, что досталось чёрным? Всего на поверхности большого куба мы имеем 6 граней по 16 (4*4) квадратиков. Итого 6 * 16 = 96 штук. Путём вычитания можно убедиться в том, что у чёрных всего-то 24 квадратика высунулись наружу. Иначе это 6 граней по 4 ячейки на каждой. Результат тот же - победили белые со счётом 72:24. Именно 72 белых квадратика будут снаружи (ответ Г).

Итак, всего у нас 32 белых кубика, куб состоит из 64 кубиков, чтобы выставить максимальное количество белых кубиков так, чтобы они составляли грани куба и были нам видны, спрячем 8 черных кубиков внутрь (они составят, если так можно сказать, сердцевину нашего куба и будут не видны). Теперь из черных квадратиков составим середины наших граней куба (там они будут видны только одной своей стороной). Это будет еще 4 х 6 черных кубиков, то есть 24, плюс первые 8, это будет 32 черных кубика, то есть все. Следовательно грани нашего куба будут состоять из 32 белых кубиков. В углах эти белые кубики покажут нам по 3 грани, 8 углов, 24 грани-квадратика, остальные белые кубики выставят на поверхность куба только по два белых квадратика (24 х 2) - 48 белых квадратиков. Суммируем эти две цифры и  получаем: 24 + 48 = 72 белых квадратика (вариант Г).

Попробуем порассуждать таким образом. В каком случае поверхность куба будет покрыта максимальным количеством белых квадратиков? Разумеется, когда белые кубики будут расположены по углам и по ребрам большого куба. В таком случае каждая грань большого куба будет иметь такой вид:
. Действительно в этом случае мы "израсходуем" все 32 белых кубика с максимальной выгодой.Теперь остается посчитать белые квадратики на одной грани и умножить это число на 6 (у куба 6 граней).
всего белых квадратиков на одной грани 12, поэтому 12*6 = 72. Ответ: Г.

Количество белых квадратиков будет максимальным, если белые кубики не будут находиться в центрах граней. Белые кубики должны находиться на вершинах куба и на его ребрах. Всего на шести гранях куба по 16 квадратиков. Если центральные квадратики черные, то остальные 12 белые. Значит всего на поверхности большого куба могут находиться максимум 72 белых квадратика