Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Диагональ параллелепипеда равна √12 и образует с плоскостью этой грани угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.

Если угол АВС = 60 гр.(градус), угол ВСА = 90 гр. это ведь параллелепипед, то угол ВАС = 180 - 90 - 60 = 30 гр.
Тангенс угла 60 гр = √3. Значит диагональ АС квадрата равна:
АС/√12 = √3. Избавлюсь от множителя √12:
АС = √3*√12 = √36 = 6.
Площадь квадрата равна диагональ в квадрате пополам (Смотрим на скрин)
S = (d^2)/2 = (6^2)/2 = 36/2 = 18 ед^2 (условных единиц)
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту (грань). Вычисляю:
18*√12 = 62,3538290725 ед^3, примерно 62,35 ед^3.
Мой ответ: Объем параллелепипеда равен 62,3538290725 ед^3, примерно 62,35 ед^3.
Это решение неверное!
Я перепутала диагональ с ребром параллелепипеда.
Тогда получатся другие числа.
Косинус угла ВАС 30 гр = √3/2. Значит диагональ АС квадрата равна:
АС/√12 = √3/2. Избавлюсь от множителя 2*√12:
2*АС = √3*√12 = √36 = 6.
АС = 6/2 = 3.
Площадь квадрата равна диагональ в квадрате пополам (Смотрим на скрин)
S = (d^2)/2 = (3^2)/2 = 9/2 = 4,5 ед^2 (условных единиц)
Тогда СВ = Sin угла ВАС 30 гр = 1/2.
1/2 = СВ/(√12) Избавлюсь от множителя 2*√12:
2СВ = √12.
СВ = √12/2 = (√4*√3)/2 = √3 = 1,73 ед.
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту (грань). Вычисляю:
4,5*1,73 = 7,79 ед^3, примерно 7,8 ед^3.
Мой ответ: Объем параллелепипеда равен 7,8 ед^3, Или √3*4,5 ед^3.
                                                                              

Обозначим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ Смотрим рисунок
1) Пусть ABCD - будет квадратной гранью.
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Точка A - точка пересечения прямой AC₁ и плоскости квадрата, а СС₁⟂(ABCD) (параллелепипед прямоугольный)
=> AC - проекция AC₁ на (ABCD) и ∠CAC₁ = 60˚
2) Смотрим ∆ACC₁ - прямоугольный
CC₁ = AC₁•sin60˚ = √12•√3/2 = √36/2 = 3
AC = AC₁•cos60˚ = √12•1/2 = √3
3) AC - является диагональю квадрата ABCD, тогда смотрим ∆ADC - прямоугольный равнобедренный; =>
AD = AC•sin45˚ = √3/√2
4) Объем данного прямоугольного параллелепипеда V = AD²•CC₁ = (√3/√2)² • 3 = 9/2 = 4,5
Ответ: V = 4,5