За год каждый из восьмиклассников гимназии №1 получил по алгебре либо 10, либо 12 оценок (все оценки от 2 до 5). Известно, что у любых двух восьмиклассников средние баллы по алгебре за год различны. Какое наибольшее количество восьмиклассников может быть в этой гимназии? Средний балл это сумма всех оценок ученика, делённая на их количество.

Предположим, что наш подопытный восьмиклассник - круглый двоечник и он получил 10 двоек
тогда общая сумма его баллов равна: 2*10, а средний балл равен 2*10/10 = 2,0
для того, чтобы у другого ученика который также получил 10 оценок, был другой средний балл, необходимо чтобы хотя бы одна из его оценок была другая - например "3", тогда общая сумма его баллов будет больше на 1, а средний балл будет больше на 0,1
очевидно, что если продолжить повышать одну из оценок на 1, средний балл также будет повышаться на 0,1
Итого для учеников, получивших 10 оценок, кол-во вариантов средних баллов составит:
(5 - 2)*10 + 1 = 31
Аналогично, для учеников получивших 12 оценок, шаг изменения величины среднего балла составит 1/12 и кол-во вариантов средних баллов составит:
(5 - 2)*12 + 1 = 37
Отсюда необходимо вычесть варианты средних баллов учеников получивших 12 оценок, которые  повторяются с вариантами средних баллов учеников получивших 10 оценок
Нетрудно убедиться, что повторяться будут следующие варианты:
n/12 = k/10 что эквивалентно 5n/6 = k
где  k и n натуральные, при этом n лежит в диапазоне от 24 до 60
Значит n должно быть кратным 6, т.е совпадают 7 вариантов
Ответ: наибольшее количество восьмиклассников равно:
31 + 37 - 7 = 61
                                                                              

Олимпиадное задание по математике для восьмиклассников. Из условий данной задачи нам известно, что за один год каждый из учеников восьмого класса получал от десяти до 12 оценок по пятибалльной шкале от 2 до 5. Но за год баллы различны у любых двух учеников, то есть они могут быть 2,3,4,5. Получается, что у школьника-двоечника средний бал будет 2,0. Всего сумма вариантов средних балов у ребят, получивших 10 оценок за год будет (5 - 2) умножить на 10 + 1 = 31. У тех, кто получил 12 оценок, соответственно, будет (5 - 2) умножить на 12 + 1 = 37. Теперь складываем эти числа и отнимаем семь. Верный ответ будет 61.

Несмотря на наличие ответа, я бы хотел добавить ещё и свой. Не вижу в этом греха.
Во-первых, целесообразно разделить всех восьмиклассников на две группы: тех, кто получил 10 оценок (первая группа), и тех, у кого оценок двенадцать (вторая группа).
В первой группе минимальный общий балл равен 2 * 10 = 20, а максимальный общий балл равен 5 * 10 = 50 баллам.
Во второй группе за год можно самое меньшее получить 2 * 12 = 24 балла, а самое большее 5 * 12 = 60 баллов.
А как найти средний балл? Очень просто, это даже пояснено в условии задачи. Нужно общий балл поделить на количество оценок.
Для первой группы средний балл будет записываться дробью вида p/10, p ∈ N, 20 ≤ p ≤ 50.
Для второй группы — дробью вида q/12, q ∈ N, 24 ≤ q ≤ 60.
Сколько разных чисел в первой группе? Знаменатели равны, остаётся пересчитать числители. В первой группе 50 – 20 + 1 = 31 число.
А во второй группе? Тоже нужно пересчитать все числители. Во второй группе у нас 60 – 24 + 1 = 37 чисел. По количеству числителей.
Но не будем спешить складывать 31 и 37! Потому, что в наших двух сериях дробей есть повторяющиеся числа.
Когда средний балл в первой группе будет равен некоему среднему баллу восьмиклассника второй группы? Очевидно, в том случае, когда p/10 = q/12. По свойству пропорции мы имеем право переписать это в виде: 12p = 10q. Или, после сокращения на два, получается диофантово уравнение: 6p = 5q. Давайте решим его в целых числах. Выражаем неизвестное с меньшим коэффициентом через другое: q = 6p/5 = p + p/5. Но q и p должны быть целыми; значит, и p/5 в правой части тоже обязано быть целым числом. Давайте приравняем его к 5r. Значит, получается, что p = 5r.
Но ведь у нас есть два ограничения для p, нижнее и верхнее: 1) p ≥ 20; 2) p ≤ 50.
Подставляем вместо p выражение 5r. Выходит система:
1) 5r ≥ 20;
2) 5r ≤ 50.
Или:
1) r ≥ 4;
2) r ≤ 10.
Теперь можно просто механически выписать все значения r, с учётом того, что мы решали уравнение в целых числах — следовательно, r целое число. Получается семь значений для r: 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.
[Как альтернативный вариант, можно было бы, конечно, ,,плясать" и от q. Получилась бы система: 1) 6r ≥ 24; 2) 6r ≤ 60. Разумеется, результат для r нисколечко не меняется, он один и тот же.]
Значит, значения семи пар дробей из наших двух серий совпадают между собой... Это будет, собственно, и не семь пар, а только семь разных дробей.
Если просто сложить 31 и 37, то мы это множество из семи повторяющихся, совпадающих дробей сочтём дважды. А нам надо посчитать его один раз. Соответственно, чтобы устранить одно дублирующее множество из двух равных его экземпляров, нужно отнять семёрочку.
Окончательно получаем: максимальное число разных средних баллов, а значит, и восьмиклассников в той гимназии равно 31 + 37 – 7 = 61.
Ответ: там был максимум 61 восьмиклассник.