чтобы их произведение делилось на 16?

Решать такие задачи можно просто методом подбора. Чаще всего в ответе получается само число и предыдущее число. Так и в этом случае. Ответ два числа : 15 и 16. Их произведение 80 делится на 16 без остатка.
                                                                              

Если начинать можно с любого, то достаточно одного 16.
А если обязательно с 1, то до 6, потому что
6!=1*2*3*4*5*6=720=1�6*45

Пусть из любых натуральных идущих подряд чисел первое число четное и не делится на четыре. Тогда  при делении его на четыре будет в остатке два. Следовательно, следующее четное число больше на две единицы и разделится на четыре. В результате произведение этих двух четных чисел делится на восемь. Придется подключить третье идущее подряд четное число для делимости на 16.
С учетом нечетных чисел необходимо  пять, как минимум идущих подряд чисел, если начинать с любого четного, и шесть - с любого нечетного.