Решите уравнения подробно описывая каждое действие - что , где и по какой формуле. Некоторые качественные по моему мнению ответы буду награждать кредитами.
33.8. Решите уравнение:1) cos²x - sin²2x + cos²3x = 1/2
2) sin 2x + cos 2x = √2 sin x;
3) cos²x + cos²2x = cos²3x + cos²4x;
4) sin 6x= 2 cos((3π/2)+ 2x)

               Пример 1
1) cos²x - sin²2x + cos²3x = 1/2;
Преобразуем косинусы и синус в квадрате по формулам дополнительного угла:
cos²α = (1 + cos2α)/2;
sin²α = (1 - cos2α)/2.
(1 + cos2x)/2 - (1 - cos4x)/2 + (1+ cos6x)/2 = 1/2;
В знаменателе везде 2, умножим обе части уравнения на 2:
1 + cos2x - 1 + cos4x + 1+ cos6x = 1;
Единицы взаимно уничтожаются.
cos2x + cos4x + cos6x = 0;
"cos2x + cos6x" преобразуем в произведение по формуле:
cosα + cosβ = 2cos((α + β)/2) • cos((α - β)/2)
2cos((2x + 6x)/2) • cos((2x - 6x)/2) + cos4x = 0;
2cos4x • cos(-2x) + cos 4x = 0;
Так как cos(-α) = cosα:
2cos4x • cos2x + cos 4x = 0;
2cos4x вынесем за скобки:
2cos4x (cos2x + 1/2) = 0;
Уравнение имеет решение при cos4x = 0 и/или при cos2x + 1/2 = 0.
Если  cos4x = 0,
Это частный случай
4x = π/2 + πn, n ∊ Z;
x = π/8 + πn/4, n ∊ Z;
Если cos2x + 1/2 = 0;
cos2x = - 1/2;
2x = ± arccos(-1/2) + 2πk, k ∊ Z;
2x = ± (π - arccos 1/2) + 2πk, k ∊ Z;
2x= ± (π - π/3) + 2πk, k ∊ Z;
2x = ± 2π/3 + 2πk, k ∊ Z;
x= ± 2π/6 + πk, k ∊ Z
x= ± π/3 + πk, k ∊ Z
Ответ: x = π/8 + πn/4, n ∊ Z;
x= ± π/3 + πk, k ∊ Z.
Пример 2
sin 2x + cos 2x = √2 sin x
Изящно решен пользователем htf-msk до меня, поэтому не буду приводить решение ещё раз.
Перейду к примеру 3...
Пример 3
cos²x + cos²2x = cos²3x + cos²4x;
Применим формулу дополнительного угла для всех квадратов:
cos²α = (1 + cos2α)/2
Получим:
(1 + cos2x)/2 + (1 + cos4x)/2 = (1 + cos6x)/2 + (1 + cos8x)/2;
В знаменателях везде двойки, умножим обе части уравнения на 2:
1 + cos2x + 1 + cos4x = 1 + cos6x + 1 + cos8x;
Перенесëм слагаемые из правой части уравнения в левую,естественно поменяв их знак на противоположный. Единицы взаимно уничтожаются. Имеем:
cos2x +  cos4x - cos6x - cos8x = 0;
Сгруппируем:
cos2x -  cos6x + cos4x - cos8x = 0;
Получается 2 разности косинусов, каждую из которых преобразуем в произведение по формуле:
cosα - cosβ = -2sin((α + β)/2) • sin((α - β)/2)
-2sin((2x+6x)/2) • sin((2x - 6x)/2) - 2sin((4x + 8x)/2) • sin((4x - 8x) /2) = 0;
-2sin4x • sin(-2x) - 2sin6x • sin(-2x) = 0;
Так как sin(-α) = -sinα:
2sin4x • sin2x + 2sin6x • sin2x = 0;
2sin2x выносим за скобки:
2sin2x(sin4x + sin6x) = 0;
Преобразуем сумму синусов по формуле:
sinα + sinβ = 2sin((α + β)/2) • cos((α - β)/2)
2sin2x(2sin((4x + 6x)/2) • cos ((4x - 6x)/2) = 0;
2sin2x • 2sin5x • cos (-x) = 0;
Так как cos(-α) = cosα:
4sin2x • sin5x • cosx = 0;
Уравнение имеет решение при:
sin2x = 0 и/или sin5x = 0 и/или cosx = 0.
Если sin2x = 0;
частный случай
2x = πn, n ∊ Z;
x = πn/2, n ∊ Z;
Если sin5x = 0;
частный случай
5x = πk, k ∊ Z;
x = πk/5, k ∊ Z;
Если cosx = 0,
частный случай
x = π/2 + πm, m ∊ Z.
Ответ: x = πn/2, n ∊ Z;
x = πk/5, k ∊ Z;
x = π/2 + πm, m ∊ Z.
Пример 4
sin 6x = 2 cos((3π/2)+ 2x);
Правую часть уравнения преобразуем по формуле косинуса суммы:
cos(α + β) = cosα • cosβ - sinα • sinβ
Получаем:
sin 6x = 2(cos(3π/2) • cos2x - sin(3π/2) • sin2x);
cos(3π/2) = 0; sin(3π/2) = -1, отсюда:
sin 6x = 2(0 + sin2x);
Перенесëм правую часть уравнения налево, поменяв знак на противоположный:
sin 6x - 2sin2x = 0;
Представим это как:
sin 6x - sin2x - sin2x = 0 и преобразуем разность синусов sin 6x - sin2x в произведение по формуле:
sinα − sinβ = 2sin((α − β)/2) • cos((α + β)/2)
Получается:
2sin((6x - 2x)/2) • cos((6x + 2x)/2) - sin2x =0;
2sin2x • cos4x - sin2x = 0;
Выносим 2sin2x  за скобки:
2sin2x(cos4x - 1/2) = 0;
Уравнение имеет решение, если sin2x = 0 и/или cos4x - 1/2 = 0.
Если sin2x = 0,
это частный случай
2x = πn, n ∊ Z;
x = πn/2, n ∊ Z; 
Если cos4x - 1/2 = 0,
cos4x = 1/2;
4x = ± arccos 1/2 + 2πk, k ∊ Z;
4x = ±  π/3 + 2πk, k ∊ Z;
x = ±  π/12 + πk/2, k ∊ Z.
Ответ: x = πn/2, n ∊ Z;
x = ±  π/12 + πk/2, k ∊ Z.

               поделим обе части уравнения на √2, получаем:
1/√2*sin2x + 1/√2*cos2x = sinx
при этом sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2 отсюда получаем:
cos(π/4)*sin2x + sin(π/4)*cos2x = sinx
воспользуемся формулой: sin(α+β)= sinα⋅cosβ + cosα⋅sinβ
получаем:
cos(π/4)*sin2x + sin(π/4)*cos2x = sin(2x + π/4)
значит:
sin(2x + π/4) = sinx
sin(2x + π/4) - sinx = 0
воспользуемся формулой: sinα − sinβ = 2sin((α − β)/2) * cos((α + β)/2)
получаем:
2sin(x + π/8) * cos(3x/2 + π/8) = 0
следовательно:
либо sin(x + π/8) = 0 либо cos(3x/2 + π/8) = 0
sin(x + π/8) = 0 имеет следующие решения:
x + π/8 = πk что эквивалентно:
x = πk - π/8, где k - любое целое число
cos(3x/2 + π/8) = 0 имеет следующие решения:
3x/2 + π/8 = π/2 + π*n
отсюда получаем:
x = 2/3(3/8*π + π*n) = π/4 + 2/3π*n  , где n - любое целое число
Ответ:
x = πk - π/8
x = π/4 + 2/3π*n
где k и n - любые целые числа