Дед Мороз был на трёх новогодних ёлках, и на каждую приносил огромный
мешок конфет (каждый раз одинаковый). На ёлке 1 января он раздавал всем детям по 6 конфет. В
итоге 1 конфета осталась лишней. На ёлке 2 января он раздавал всем детям по 15 конфет. Опять
одна конфета осталась лишней. На ёлку 3 января пришло совсем мало детей и Дед Мороз раздал
каждому по 90 конфет, а оставшиеся конфеты отдал Снегурочке. Сколько конфет могло достаться
Снегурочке, если известно, что это число меньше 90?

Каждый раз был одинаковый мешок конфет. Пусть  n - количество конфет в мешке.
В первый день раздал по 6 и 1 осталась. Значит (n-1) делится на 6
Во второй день раздал по 15 и 1 осталась. Значит (n-1) делится на 15
В третий день раздал по 90 и Х осталось.
Причем Х < 90
В мешке было (90k + X) = n. Из того что (90k + X) - 1 делится на 6 и на 15, и 90k делится на 6 и на 15, то и (Х-1) делится на 6 и на 15. То есть (Х-1) кратное 6 и 15 и меньше 89
Найдем эти числа
6 = 2•3
15 = 3•5
(X -1) = 0 (делится на 6 и 15); => X = 1
(X-1) = НОК (6; 15) = 2•3•5 = 30; => X = 31
Следующее кратное будет (X-1) = 30•2 = 60; => X =61
Следующее кратное будет (X-1) = 30•3 = 90; (Этот вариант не годится (Х-1) < 89
Получается 3 варианта.
1 Вариант: Снегурочке досталось 0+1 = 1 конфета
2 Вариант: Снегурочке досталось 30+1 = 31 конфета
3 Вариант: Снегурочке досталось 60+1 = 61 конфета
Приведу примеры для этих вариантов
1 Вариант.
В мешке была 271 конфета
1 января пришло 45 детей. Получили по 6 конфет 45•6 = 270 и 1 осталась деду морозу
2 января пришло 18 детей. Получили по 15 конфет 18•15 = 270 и 1 осталась тоже деду морозу
3 января пришло 3 ребенка. Получили по 90 конфет 3•90 = 270 и 1 осталась снегурочке
2 Вариант.
В мешке была 301 конфета
1 января пришло 50 детей. Получили по 6 конфет 50•6 = 300 и 1 осталась деду морозу
2 января пришло 20 детей. Получили по 15 конфет 20•15 = 300 и 1 осталась тоже деду морозу
3 января пришло 3 ребенка. Получили по 90 конфет 3•90 = 270 и 31 осталась снегурочке
3 Вариант.
В мешке была 331 конфета "330 каждому"  + 1
1 января пришло 55 детей. Получили по 6 конфет 55•6 = 330 и 1 осталась деду морозу
2 января пришло 22 ребенка. Получили по 15 конфет 22•15 = 330 и 1 осталась тоже деду морозу
3 января пришло 3 ребенка. Получили по 90 конфет 3•90 = 270 и 61 осталась снегурочке
Числа конфет в мешке и количество детей может быть и другое, но условие кратности должно выполняться и ответы будут одинаковые.
Ответ: Снегурочке могло достаться: 1 или 31 или 61 конфета
                                                                              

Конфет должно быть больше 6*15 = 90 и меньше 92, то есть 91 конфета. Потому что если 3 января придёт 1 человек ему придётся отдать все конфеты, а если 2 или больше. Но тогда не зная количество человек нужно все числа от 2 до 88 перемножить и прибавить один естественно если умножать на 4 и то тогда на 2 умножать не надо. То есть убрать из произведения все меньшие кратные. Но в первую очередь, я бы перемножила все простые числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83.
Затем стала бы умножать начав с 88, и выкинула бы простое число 11, потом 87 и не стала бы умножать на 3, 29. потом на 86 без 2 и 43. 85 без 5 и 17. 84 без 12, 28, 42. 83 уже есть среди простых.
Перепишу их:
13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79.
Это не простая задача много действий, но я описала алгоритм, может потом допишу, а может и нет, вдруг я не права?

[Полностью поддерживаю решение, приведённое участником "ОлегТ", но просто приведу чуть более короткую запись.]
Пусть в мешке y конфет. Каждый день Дед Мороз заряжает свой полностью пустой мешок именно таким количеством конфет. В условии сказано, что y делится на 6 с остатком 1 и на 15 -- тоже с остатком 1. На 90, количество конфет делится с остатком x, для откормки снегурки.
Символически это можно записать системой сравнений:
y = 1 (mod 6)
y = 1 (mod 15)
y = x (mod 90)
Известно, что если два числа сравнимы по модулям n и m, то они сравнимы и по модулю НОК(n, m). Это позволяет объединить два первых сравнения в одно y = 1 (mod НОК(6, 15)) => y = 1 (mod 30).
Лемма (без доказательства; стандартное утверждение из теории чисел).
Элементы класса вычетов [a] по модулю M образуют k штук классов вычетов по модулю k*M, а именно классы вычетов [a+i*M], 0<=i<k.
Применим эту лемму к сравнению y = 1 (mod 30), положив k=3. Лемма в этом случае говорит, что класс вычетов [1] по модулю 30 можно заменить тремя классами вычетов [1+0*30], [1+1*30] и [1+2*30] по модулю 3*30, т.е. классами [1], [31] и [61] по модулю 90.
Очевидно, последнее сравнение исходной системы, если в нём обменять местами правую и левую части, даёт итоговое решение x = y (mod 90), т.е. равенство классов вычетов

• =[y]=[1+i*30], при 0<=i<3. Итак, ещё одним независимым способом было установлено, что остаток от деления y на 90, т.е. остаток идущий "внучке", принадлежит множеству {1, 31, 61}. Особенно ей неповезёт если мешок заполнялся 151, 241, 331, 421 конфетой, и т.д., -- ведь, в этом случае ей перепадёт 61 конфета, почти одни углеводы!
  

1 января на елке было а детей,
Второго - в детей.
Третьего - с детей.
Имеем:
6а+1=90с+к
15в+1=90с+к,где к-количество конфет доставшееся Снегурочке.
(причем к<90), отсюда:
6а=15в
Минимальное а=15.
Минимальное в=6.
Имеем значения для
любых а и в
6а=15в
2а=5в
а=5п,в=2п,
где п - любое натуральное число,не меньшее 3
Далее имеем равенство:
30п+1=90с+к
к-1=30(п-3с).
Отсюда :
Если п-3с=0,то к=1
Если п-3с=1,то к-1=30 и к=31
Если п-3с=2 то к-1=60 и к=61
(Если п-3с=3,то к-1=90 и к=91,но это уже противоречит условию к<90)
То есть внучке могло достаться 1,31 или 61 конфета.
А так формула :
а=5п
в=2п,где п не менее 3.
Пример:
п=13.
Было первый день 65 детей.
Второй день 26 детей.
Было конфет 6*65+1=391
В этом варианте внучке деда Мороза достаётся :
391=90*4+31---то есть 31 конфета.

Если подходить формально, что детей 3-го января было, как минимум, двое (а не один - "раздал каждому по 90 конфет"), то, поскольку, в любом случае число 90 делится и на 6 и на 15 (собственно, 6 * 15 = 90), потому у Деда Мороза в общем случае могло быть конфет:
(N * 90) + M,
где N - любое натуральное число больше единицы,
а M - любое натуральное число меньше 12,
а Снегурочка получала от одной до 11 конфет, ибо детей приходило каждый раз:
1-го января (15 * N) человек,
2-го января (6 * N) человек,
3-го января (1 * N) человек.
Кстати, а куда делись конфеты, что оставались от 1-го и 2-го января? Тоже, небось, достались Снегурочке?

Поскольку я ошибся, давая свой первый ответ, то даю второй его вариант с учётом поправок от ОлегаТ.
Я исходил, исхожу и буду исходить из того простого предположения, что Дед Мороз каждый раз раздаёт детям конфеты по такому принципу - всем поровну, сколько только можно раздать.
При этом остаток конфет не может никаким образом превышать количество детей, иначе бы детям досталось из этого остатка ещё по конфете, или даже более.
Это же Дед Мороз, а не прагматичный 'торгаш', оставивший для своей внучки 31, или даже 61 конфету в случае, когда на праздник к нему пришло всего трое детей.
Такие варианты решения тут приводятся. Они совершенно справедливы, исходя из математической логики, но неверные душевно.
Моё решение.
Поскольку 6 * 15 = 90, а в первых двух случаях от раздачи по 6 и 15 конфет оставалась всего одна лишняя конфета, то (для общего случая) конфет у Деда Мороза в мешке было:
(90 * N) + 1, где N - любое натуральное число, лежащее в пределах разумного (с точки зрения оценки количества детей, приходящих на праздник).
Отсюда видно, что и 3-го января оставалась в мешке всего одна конфета, которая и досталась Снегурочке, что вполне себе справедливо. 
Ответ: одна конфета.