Эти функции чем-то похожи на тригонометрические, но отличаются от них. Что это за функции, где возникают и для чего служат?

Это гиперболичесике функции ("обычные" синусы-тангенсы называются круговыми функциями). Называются они так потому, что уравнение, из которого такие функции выползают, - это уравнение гиперболы, тогда как уравнение, для которого подходят обычные синусы и косинусы, - это уравнение окружности.
Уравнение гиперболы отличается от уравнения окружности только знаком при y^2.
У круговых функций и у гиперболических много общего. И те, и другие выражаются через экспоненту. Но если у круговых функций показатель экспоненты чисто мнимый (формула Муавра; кстати, именно в трудах Муавра впервые появляются гиперболические функции), то у гиперболических он чисто вещественный. Для гиперболических функций тоже есть своя "тригонометрическая единица", только равна ей не сумма, а РАЗНОСТЬ квадратов косинуса и синуса (это как раз проявление различия между уравнениями окружности и гиперболы). Для гиперболических функций точно так же есть свои формулы сложения функций и аргументов, функции понижения степени, функции двойного угла и т. д. Всё то же самое, что и для круговых функций.
В инженерной практике чаще всего встречается гиперболический косинус, график которого называется цепной линией: именно по гиперболическому косинусу провисает подвешенная за оба конца верёвка. Поэтому и форма арки в виде гиперболического косинуса с точки дрения прочности конструкции оказывается оптимальной.
                                                                              

К исчерпывающему ответу Грустного Роджера остается только добавить формулы
sh x = (e^x - e^(-x))/2
ch x = (e^x + e^(-x))/2
th x = sh x / ch x = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x)) = (e^(2x) - 1)/(e^(2x) + 1) < 1 при любом x
cth x = ch x / sh x = (e^x + e^(-x))/(e^x - e^(-x)) = (e^(2x) + 1)/(e^(2x) - 1) > 1 при любом x

Это-гиперболические тригонометрические функции; обычно с ними знакомятся студенты первого курса на занятиях по аналитической геометрии. Все эти функции вычисляются легче, чем обычные тригонометрические, так как все они завязаны на экспоненциальных выражениях.