Ну, скажем, дробь 1/42 (одна сорок вторая). Если её обратить в бесконечную периодическую, то какова будет длина периода? И можно ли это как-то рассчитать, не выполняя деления в столбик? Хотелось бы обобщить этот случай, т. е. интересует общий алгоритм, если таковой, конечно, существует.

На эту тему в своё время - уже лет двадцать назад - была статья в журнале "Квант".
Если есть несократимая дробь вида m/n, и n не делится на 10, то её можно представить в виде периодической дроби, длина периода которой - такое минимальное число k, что 10ᵏ - 1 кратно n (позвольте мне не приводить тут доказательства этой теоремы...).
Если знаменатель содержит простые множители 2 и 5 (по скольку-то таких множителей), то тогда его можно представить в виде n = 2ᵃ*5ᵇ*t, где t уже не делится ни на 2, ни на 5, то для такой дроби (у неё будет предпериод) длина периода вычисляется сходным образом, как наименьшее k, для которого 10ᵏ - 1 кратно t.