Имеется резиновый жгут длиной 1м. По жгуту со скоростью 1см/мин ползет червяк. Свой путь он начинает с одного конца жгута. По истечении каждой минуты жгут растягивается и его длина возрастает на один метр. Понятно, что растяжение происходит равномерно по всей длине жгута. Возникает вопрос: доползет ли когда-нибудь червяк до конца жгута? При этом считаем нашего червяка бессмертным и неутомимым.

Как ни странно, доползет.
Сначала длина жгута 1 м. В 1-ую мин она увеличивается на 1 м, то есть на всю свою длину. Становится 2 м.
Во 2-ую мин она увеличивается на 1 м, то есть на 1/2 длины. Становится 3 м.
В 3-ью мин она увеличивается на 1 м, то есть на 1/3 длины. Становится 4 м.
И так далее. Итоговая длина жгута через n мин равна сумме ряда 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n.
Но это - гармонический ряд, который расходится.
Доказать расхождение этого ряда нетрудно.
S1 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ... = 1 + 1/2 + (1/3+1/4) + (1/5+1/6+1/7+1/8) + ...
Эта сумма больше, чем
S2 = 1 + 1/2 + (1/4+1/4) + (1/8+1/8+1/8+1/8) + ... = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...
Очевидно, что ряд S2 расходится, потомучто члены 1/2 складываются бесконечное множество раз.
Есть такой признак сравнения рядов: если частичные суммы какого-то ряда больше, чем аналогичные суммы расходящегося ряда, то этот сомнительный ряд тоже расходится.
И аналогично, если частичные суммы какого-то ряда меньше, чем аналогичные суммы сходящегося ряда, то этот сомнительный ряд тоже сходится.
Но наращивание суммы гармонического ряда происходит очень медленно.
Первый миллион членов в сумме дает всего лишь 14 с небольшим.
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/999999 + 1/1000000 ~ 14,393
Так что червяк доползет, но ОЧЕНЬ не скоро. Время примерно равно времени существования Вселенной.
                                                                              

Убедительного ответа на поставленный вопрос я не нашел. Пусть конец жгута, с которого червяк начинает движение будет стартом, а второй конец – финишем. Если даже вычислить через много минут, каково расстояние червяка до финиша, оно неуклонно растет с очень  медленным сокращением скорости удаления финиша. Наступит ли когда-либо переломный момент, когда  станет сокращаться путь до финиша или уйдет он в бесконечность?
Решением задачи может стать некая закономерность, которую нужно обнаружить. Вот во сне пришла идея,  провести вычисления,  начиная с финиша. И так, сколько потребуется времени, если червяк стартует с расстояния 1см, 2см, 3см, ... и т. д. до финиша? Условия для жгута остаются неизменные.
Пусть до финиша 1 см, тогда в течение первой минуты он достигнет финиша, только затем жгут удлинится. Идем дальше, отступим 2 см. По завершении 1мин, расстояние сократится до 1см, в этот момент жгут удлинится в два раза и оно опять станет 2см. Червяк снова по завершении 2-ой мин подползет к финишу на 1см, жгут теперь удлиниться еще на 1 м, или в 3/2 раз. Тогда 1*3/2=1,5см остается до финиша. Третья минута завершится сокращением расстояния до 0,5 см и последующим увеличением за счет удлинения жгута 0,5* 4/3=0,(6) см. Теперь становится ясно, только на четвертой минуте произойдет финиширование. Данные результаты для наглядности отображены в таблице №1. Аналогичный расчет в случае, когда старт отстоит от финиша на 3см, представлен в таблице № 2. Как видим, в этом варианте на 11 минуте достигнет беспозвоночное финиша.
Вычисления мною проведены до 10 см удаленности старта с интервалом 1 см. Все результаты сведены в общую таблицу № 3. Итак, марафон в 10 см завершился на 12367 минуте. Теперь выясним, как возрастает время с увеличением расстояния до финиша с шагом в 1 см. Разделим последующее значение времени на предыдущее, например, 12367/4549= 2,71861947. Аналогичные результаты при делении 9-го значения на 8-е и т.д. записаны в третьей колонке таблицы №3. Что-то очень знакомое число, где то раньше встречал. Ах да, основание натурального логарифма е=2,7182818.
Очевидно, это неслучайно. Небольшие расхождения результатов связаны с дискретностью времени и скачкообразным растяжением жгута. Так, например, расстояние в 2 см преодолевается не ровно за 4 мин, а где-то между 3 и 4, так и в остальных случаях. Теперь можно записать общую формулу расчета времени t путешествия червяка по жгуту в зависимости от расстояния m до финиша
t=a*e^m.
Здесь (а) коэффициент, который вычислим  по формуле, а=t/(e^m) при этом возьмем из таблицы №3 самые большие как наиболее точные значения  t =12367 мин, а m=10 см. Получаем, а=0,5614609.
Теперь по-новому можно вычислить с использованием полученной формулы время движения червяка. С полученными данными можно ознакомиться в таблице №4.  Очень хорошее совпадение значений свидетельствует в верности принятого решения, при этом время вычисляется не дискретно с точностью до 1 мин, а с учетом ее долей.
Сейчас становится ясным как вычислить время движения червяка при старте с другого конца жгута
t=0,5614609*е^100=1,50927*10^43 мин.
Много ли это времени? Да невообразимо много. Выразим полученное значение в годах. Один год содержит 60*24* 365,25=525960 минут.  Тогда 1,50927*10^43/525960=2,8696*10^37 лет, тоже очень большое число. Возраст Вселенной пусть по максимуму 20 миллиардов лет. Вычислим, во сколько раз наш неустанный червяк переживет  Вселенную: 2,8696*10^37/(2* 10^10)=1,4*10 ^27 раз. Кощей Бессмертный явно ему позавидует.
В заключение следует уточнить время наступления переломного момента, когда расстояние между червяком финишем начинает сокращаться. Примерно это можно оценить по таблице №2, около 1/3 от начала путешествия, более точно 1/е. Получается очень уж интересно. Если, например, стартуют два червяка одновременно,  расстояние  между которыми составляет 1 см, то в момент финиша впереди ползущего, второй только начинает сокращать дистанцию до финиша.

Не буду строить из себя паиньку и говорить, что я не читал ответы предыдущих авторов. Конечно же читал, как и то что далеко не все понял. Попробую решить задачу в меру своих возможностей.
И так, червячок прополз 1см, после чего жгут растянули на два метра. Назову не растянутый жгут нулевым, а любой растянутый фактическим. Каждый сантиметр нулевого жгута превратился в 2см фактического. Червячок прополз еще 1см фактического жгута. Если мы сейчас снимем напряжение с жгута, то червячок окажется на удалении 1,5см от начала нулевого жгута. Следующий сантиметр фактического жгута, растянутого до 3 метров, принесет на нулевом прибавку в 1/3 см, потом 1/4 и так далее. Таким образом он должен преодолеть 100 см нулевого жгута.
На первый взгляд задача сводится к очень простой, нужно найти при каком количестве циклов растяжения мы получим сумму 100см.
Но такие "уравнения" не решаются. Для некоторых функций существует альтернативная замена суммы на формулу, но для 1/n она отсутствует. Но поскольку при "n" стремящемся к бесконечности, сумма тоже стремиться туда же, то ответ существует.
Попробуем решить задачу численно, для начала возьмем 100 циклов.
За это время он сместится всего на 5,18см нулевого жгута и ему останется ползти 94,81см но при этом каждый нулевой сантиметр превратится в 100см фактического, а значит линия финиша удалится на 9481см. Очевидно, что в окончательном ответе должны быть преогромнейшие числа. Проблема в том, что это не под силу доступным калькуляторам. Максимально большое число которое я смог посчитать это 10^18.
Это без малого два триллиона лет и при этом "бегун" преодолел всего 42см нулевого жгута.
Остается последний способ решения, это хитростью. Рассмотрим график суммы ряда 1/n.
Уж больно он напоминает график корня какой то там степени или график логарифма. Попробую проверить предположение Vasil Stryzhak на счет натурального логарифма.
Похоже, но не совсем. Попробуем по другому. Возьмем обычный логарифм с основанием "е*к"
Графики стали лучше совпадать. Но при удалении по оси Х опять появляется расхождение, при этом коэффициент нужно увеличивать. Так при Х=200000 он равен К=0,95585. Можно предположить что при очень больших значениях Х он будет равен 1, то есть натуральный логарифм будет идеально отображать область запредельно больших значений Х.
Можно поздравить Vasil Stryzhak с его собственным открытием. Остается только написать новую формулу.
Ее ценность в том, что с ней можно работать в той зоне, где отказывают калькуляторы.
А поскольку наш красный график это есть количество циклов при котором червячок пройдет 100см по нулевому жгуту, а сиреневый график с ним совпадает, то всего циклов будет:
Это и будет окончательным ответом в минутах. О невероятно большом значении этого симпатичного 10^43, уже говорили до меня.
Имея формулу, не сложно посчитать на сколько "звереныш" переместится за время существования нашей вселенной.
Он не просто путешественник во времени или между мирами. Он путешественник по вселенным!
Вывод
Давным давно, отправленный безжалостной женской рукой, маленький червячок начал свой бесконечный путь по резиновой ленте. В дороге он размножался и со своими многочисленными потомками продолжал свое безрадостное движение. Но мать природа сжалилась над ними и они эволюционировали. Вначале появились ножки, что бы защитить животик от истирания, затем присоски на них, что бы не упасть с постоянно вибрирующей ленты. Для того что бы вселить надежду в маленькую червячную душу им дарованы глаза. Особо отчаявшиеся, для услады сознания, получили симпатичную шерстку и цветную раскраску.
Так на свете появились гусеницы.
Гуманитарии этого не поймут... :-)
Благодарю автора вопроса и всех принявших участие в ответах за приятное времяпровождение.

Доползет или не доползет? Давайте вместе посчитаем.
Для наглядности пусть червь начинает ползти от закрепленного конца жгута, начальная длина жгута 100 см ,к концу первой минуты он проползет 1 см,а жгут растянется на 100 см теперь в нем 200 см.получается червь прополз за минуту 1/200 часть жгута,к концу второй минуты проползет 2 см,а жгут станет 3 метра и дальше такие цифры получаются соответственно путь червя в сантиметрах и длина шнура в метрах 3 см-4 метра; 4 см-5 метров и так далее - ну опустим целый ряд чисел  999 см- жгут 1000 метров.И что же поменялось?Путь червя не превышает 1/100 части жгута.Теперь попробуем разобраться поближе в чем дело.
Представим  бельевую резинку длиной 1 метр и поставим на ней равномерно 100 точек естественно между соседними точками получим расстояние в 1 см. Расстояние между соседними точками и есть тот путь что проходит червь за минуту. Теперь растянем резинку до 2 метров.Расстояние между точками увеличится и составит 2 см. Растянем резинку еще на метр-станет 3 см.между точками.Вот и получается  что  когда червяк пытается проползти свой путь в один сантиметр между точками,расстояние между этими точками увеличивается как раз на 1 см. и так до бесконечности.Получается  что забуксует наш червяк на месте и не доползет 

Да и очень быстро, за 2.5 часа.
Обойдемся без умствований, таблиц и будем считать как и полагается детям.
100 см, скорость 60 см/мин, после идет растяжение на 1 м равномерно.
После 1-й минуты у него оставалось 40 см, но из-за растяжения вдвое (1м +1 м, но равномерно), путь удлинился до 80 см.
Проходит час. Утомленный червяк проползает 60 см и у него остается 20, но кто-то снова растянул жгут и 20 превратились в 30 (пропорциональное растяжение, но уже на треть 1 м к 2 м начала часа)
Через каких-то полчаса червяк преодолевает последние 30 см и пока никто ничего снова не растянул - прячется, так как бессмертие и неутомимость - вещи ценные.
Того, на все про все он потратил
2.5 часа в силу своей неутомимости, но не тратя свое бессмертие по пустякам.