В трапеции АВСD точка Е – середина основания AD, точка М – середина стороны АВ.
a) Докажите, что площади четырехугольника АМОЕ и треугольника СОD равны, если О – точка пересечения отрезков СЕ и DM.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырехугольника АМОЕ, если ВС=5, AD=7.

опустим из точки М высоту h₁ на основание AD
точка М – середина стороны АВ, значит h₁ - равна половине высоты трапеции: h₁ = h/2
площадь треугольника ΔAMD равна: S(ΔAMD) = 1/2*h₁*AD = 1/4*h*AD
площадь треугольника ΔECD равна: S(ΔECD) = 1/2*h*ED = 1/4*h*AD
т.е S(ΔAMD) = S(ΔECD)
площадь четырехугольника АМОЕ = S(ΔAMD) - S(ΔЕОD)
площадь треугольника ΔСОD = S(ΔECD) - S(ΔЕОD) = S(ΔAMD) - S(ΔЕОD)
следовательно, площади четырехугольника АМОЕ и треугольника СОD равны
построим треугольник ΔНАМ, как показано на рисунке
точка М – середина стороны АВ, значит треугольники ΔНАМ и ΔМВС - равны
значит площадь треугольника ΔНСD - равна площади трапеции S(ABCD)
вспоминаем, что h₁ = h/2 получаем:
площадь треугольника ΔНМD - равна половине площади трапеции S(ABCD):
S(ΔНМD) = S(ABCD)/2
следовательно: площадь треугольника ΔМСD также равна равна половине площади трапеции S(ABCD):
S(ΔМСD) = S(ABCD)/2
обозначим: OD / MD = x, тогда получаем:
S(ΔСОD) = х * S(ΔМСD)S(ΔЕОD) = х/2 * S(ΔАМD)с другой стороны: S(ΔАМD) = S(АМОЕ) + S(ΔЕОD)
но в вопросе А, мы уже доказали, что: S(АМОЕ) = S(ΔСОD)
значит: S(ΔАМD) = S(ΔСОD) + S(ΔЕОD) = S(ΔСОD) + х/2 * S(ΔАМD)
отсюда получаем:
S(ΔАМD)*(1 - х/2) = S(ΔСОD) = х * S(ΔМСD) = х/2 * S(ABCD)
подставляем в данное выражение значения ВС=5, AD=7, получаем:
S(ABCD) = (5+7)*h/2 = 6h
S(ΔАМD) = 7*h₁/2 = 7/4*h
получаем соотношение для нахождения х:
7/4*h*(1 - х/2) = х/2 *6h
1 - х/2 = 12/7*х
х = 1/(1/2 + 12/7) = 14/31
Итоговое соотношение:
площадь четырехугольника АМОЕ = S(ΔСОD) = х * S(ΔМСD) = х/2 * S(ABCD) = 7/31 * S(ABCD)
Ответ: 7/31