Площадь треугольника АВС равна 1. На продолжении его стороны АВ за точку В выбрана точка К так, что АВ=ВК. На продолжении ВС за точку С выбрана точка L так, что ВС=CL, а на продолжении СА за точку А – точка М так, что СА=АМ. Найдите площадь треугольника KLM.

Добавим в рисунок обозначения.
АВ=ВК=а
ВС=CL=b
СА=АМ=с
∠АВС=α, ∠КВL=180-α
∠ВСА=β, ∠МСL=180-β
∠ВАС=γ, ∠МАК=180-γ
Теперь выразим площадь каждого треугольника через две стороны и синус угла между ними.
Сначала рассмотрим площадь треугольника АВС через угол α:
S(АВС)=0,5*а*b*sinα=�1
S(KBL)=0,5*a*2b*sin(�180-α)=a*b*sinα=2*S(АВС)�=2*1=2
То же самое смотрим для угла β:
S(АВС)=0,5*b*c*sinβ=�1
S(MCL)=0,5*b*2c*sin(�180-β)=b*c*sinβ=2*S(АВС)�=2*1=2
А теперь для угла γ:
S(АВС)=0,5*а*c*sinγ=�1
S(KBL)=0,5*2a*c*sin(�180-γ)=a*c*sinγ=2*S(АВС)�=2*1=2
Осталось сложить площади всех треугольников, чтобы узнать площадь треугольника KLM.
S(KLM)=S(АВС)+S(KBL)�+S(MCL)+S(KBL)=1+2+2�+2=7
Ответ: 7.