C четырехзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 3036?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 2053?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 3100 до 4000 включительно?

ответ на вопрос В):
1.рассмотрим произвольное 4-х значное число N, десятичная запись которого равна: ABCD
N = A*10³+B*10²+C*10+D = A*1000+B*100+C*10+D
2.из числа N вычитаем сумму его цифр, получаем:
A*1000+B*100+C*10+D - (A+B+C+D) = A*(1000-1)+B*(100-1)+C*(10-1) = 999A + 99B + 9C
сразу обращаем внимание, что цифра D сократилась и никак не влияет на результат
3.затем получившуюся разность делим на 3, получаем:
333A + 33B + 3C - обозначим данное число как R
4.теперь нам необходимо найти: сколько различных чисел R получится в результате вышеуказанных операций из чисел N от 3100 до 4000 включительно
вспоминаем, что последняя цифра числа N не влияет на результирующее число R, по этому последнюю цифру числа N можно сразу исключить из рассмотрения
следовательно, существует всего (400-310+1) = 91 "значимых" вариантов чисел N
5.докажем, что все 91 "значимых" варианта чисел N в результате дают также различные числа R
предположим, что существуют 2 различных набора цифр: ABC и XYZ которые дают одно и тоже число R, т.е:
333A + 33B + 3C = 333X + 33Y + 3Z
333(A-X) = 33(Y-B) + 3(Z-C)
предположим, что A не равно X, тогда:
левая часть уравнения по модулю заведомо больше 333,
а правая часть уравнения по модулю заведомо меньше 33*9+3*9=324
т.е получаем противоречие, следовательно A=X
аналогично доказывается что: Y=B и Z=C
следовательно все 91 "значимых" варианта чисел N в результате дают также различные числа R
ответ на вопрос В)
91 различных чисел
                                                                              

(1000a+100b+10c+d)-(a+b+c+d)=999a+99b+9�c. В результате деления на три получится 333а+33b+3c, то есть число, кратное трем. 3036=333*9+33*1+3*2 (подходит), а 2053 на три не делится. Между 3100 и 4000 содержится 300 чисел, кратных трем.