Кроме положенного придомового участка, помещик Иванов выделил крестьянину Федорову за старательный труд дополнительно полевой надел, но с условием. Стороны полевого надела в виде четырехугольника должны составлять 47, 38, 32 и 28 сажень. Задумался крестьянин над тем, как наилучшим образом измерить участок, чтобы иметь больше земли. Затем взял с собою сажень, колья, длинную веревку и с семьею пошел в поле.

Да... Печалька.
Исходя из ответа Грустного Роджера, приходится признать, что мой уровень отличается от знаний стародавнего крестьянина, лишь тем, что я знаю определение перпендикуляра.
В принципе задача уже решена, но как то хочется самостоятельно убедиться в правдивости чужих выводов и замороченных формул.
Предположим, изображенный четырехугольник имеет максимальную площадь. Разрежем его по диагонали и треугольник ABD перевернем лицевой стороной вниз. Фигура поменяет свою форму, но останется неизменной его площадь. Таким образом можно создать любой порядок сочетания сторон при неизменной площади.  Следовательно порядок сторон не имеет значения. У меня он в порядке возрастания.
Сторона АD закреплена, а точки В и C могут менять свое положение по радиусам, при этом не нарушая заданных длин сторон.
Изменение формы фигуры обеспечивается изменением угла альфа при вершине А. Имеется возможность проследить за изменением площади и проверить сумму противоположных углов.
Вокруг треугольника ABD описана окружность. При определенной форме фигуры точка С тоже попадает на окружность.
Дополнительно имеется расчет количества зерновых, по урожайности тех лет, которые можно вырастить на этом участке. Не зря сельчанин печется о максимально большом наделе.
Убедиться в правильности выводов сделанных Грустным Роджером, можно перейдя по ссылке.
ССЫЛКА НА МАКЕТ
P.S.
Как под заказ попалась теорема Птолемея. Она гласит.
Исходя из этого можно разметить участок силами двух человек.
Предварительно из веревки собирается контур с узелками на вершинах. Две вершины крепятся жестко, при помощи колышек. Привязываются две диагонали с узелками через каждую сажень, типа рулетки. Два человека, одной рукой, перемещают свободные вершины, в другой у них веревка диагонали. Исходя из сборки контура, сумма произведений противоположных сторон известна. Теперь при каждом новом положении нужно проверить произведение диагоналей. Там где значения совпадут будет четырехугольник вписанный в окружность. А это значит, что сумма противоположных углов у него будет 180 градусов и максимальная площадь.
Для крестьянина XIX века это не менее проблематично, чем строить перпендикуляры. Одним словом безнадега.
Вот незадача. Оказывается фамилия Птолемей уже прозвучала в комментариях. Вовремя не уследил. Переделывать ответ и макет не хочется.
                                                                              

не думаю, что крестьянин думал о максимальной площади в ущерб удобству обработки надела. Он отложил длинную сторону 47 саженей, строго параллельно от нее проложил линию на расстоянии 28 саженей. Затем с той стороны, где ему удобнее начинать пахать, сажать, он провел линию, соединяющую концы двух первых линий отрезком 28 саженей. Если сделать это тщательно, то углы будут прямые, но это не принципиально. Затем он с противоположной стороны от конца линии 47 веревой, длиной 32 провел дугу до пересечения с линией, параллельной линии 47 . Затем он измерил эту линию. Если она получилась короче или длиннее 38, то все повторяется, только линия, которая должна получиться 38, проводится ближе к линии 47. Как раз хуже, если длинее. Тогда получается участок немного вытянутый, но с двумя параллельными сторонами. При вспашке не будет образовываться клин, крестьянин не будет мучить лошадь и себя на лишних разворотах, топтать пашню, да и качество вспашки будет лучше. Но это мое, крестьянское, видение решения задачи.
Если же максимизировать площадь, то нужно, чтобы неправильный четырехугольник был ближе всего к квадрату. Если бы помещик хотел, то мог бы сказать крестьянину намерять себе надел так, чтобы сумма сторон составляла 145 саженей. Тогда крестьянин построил бы квадрат со стороной 36 с четвертью саженей, и площадь надела составила бы 1314 квадратных саженей. А при таких размерах, которые разрешил помещик, площадь будет меньше при любом построении.
На рисунке участок при параллельных краях и (пунктиром) при большей площади, красным цветом - промежуточный вариант, который бы выбрал я, пренебрег небольшим клином..

Интересная задачка, которая сводится к нахождению максимума функции (площадь), надо только правильно выбрать переменную, от которой вычисляется эта функция.
Вообще говоря, площадь произвольного четырёхугольника не фиксирована, потому что четырёхугольник - фигура нежёсткая. Зато нам известен порядок сторон. Поэтому за независимую переменную можно взять сумму противоположных углов. Щас объясню, почему именно такой странный параметр.
Для площади четырёхугольника произвольной формы справедлива формула
S = sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)SHY- abcd*cos²(β/2)],
где β - означенная сумма противоположных углов. Какие именно углы взять за противоположные - по фигу, потому что сумма всех четырёх равна 360, так что косинусы в любом случае будут равны.
Из этой формулы сразу следует, что при заданных длинах сторон максимуму площади соответствует β=180, то есть четырёхугольник должен быть вписанным в какую-то окружность.
Осталось только найти эту окружность... но тут можно воспользоваться тем, что крестьянин не один туда отправился, а с семьёй. Которая большая.
Ведь раз четырёхугольник вписан в окружность, то все его стороны - хорды одной и той же окружности. Значит, перпендикуляры к серединам сторон должны пересекаться в одной и той же точке - центре описанной окружности. Так что последовательность действий мужика такая:
1) вбить два кола на расстоянии 47 саженей друг от друга, и натянуть промеж них верёвку;
2) привязать верёвку к середине этой отмеченной межи и натянуть её по перпендикуляру. Далеко натянуть;
3) привязать к концам остатнюю верёвку, на которой тоже узелочки завязаны аккурат на 38, 32 да 28 саженях, и тоже серединки отмечены;
4) опять же к каждой серединке привязать верёвку;
5) ну а теперь всей семьёй дружно "водить хоровод", перемещая две остатних угла и при этом стараясь держать привязанные к серединка верёвки перпендикулярными к каждой стороне, да и подобрать такое положение, при котором эти перпендикуляры в одной точке сойдутся. Вот это, стало быть, и будет таким положением двух других вершин, когда площадь участка максимальна.
Одно мне только сумнительно: знает ли крестьянин Фёдоров не то что соотношения Бретшнайдера, а даже и слово "перпендикуляр"...

Задумался крестьянин над тем, как наилучшим образом измерить участок, чтобы иметь больше земли: «Максимальную площадь надела получу при распределении вершин четырехугольника по окружности. Тогда нужно просто расположить эти вершины относительно друг друга на заданных расстояниях, с учетом равной удаленности от какого либо места». 
Затем взял с собою сажень, колья, длинную веревку и с семьею пошел в поле. На выделенном наделе размечает веревку узлами через 47, 38, 32 и 28 сажень. Оставшуюся часть веревки делит на четыре равных отрезка.  Одни концы отрезков прикрепляет к узлам, а вторые завязывает в общий узел. Дает задание, четырем членам семьи взять по узлу и растягивать веревочную конструкцию в разные стороны. Сам же, перекидывает через вбитый в землю кол пучок веревок и придерживает его за общий узел, обеспечивая  равномерное удаление деток от центра.
Таким образом, при достижении максимального размера фигуры, крестьянин получает наибольший четырехугольный участок.

Предлагаю физический способ решения этой задачи, основанный на том, что пленка мыльного пузыря стремится уменьшить свою площадь.
Делаем модель участка как четырехугольник из тоненьких реечек (соломинок, прутиков и т.п.), соединенных шарнирно. Также делаем обруч, в который может поместиться эта модель.
Один из углов модели закрепляем внутри обруча или непосредственно на краю обруча внутри него. Опускаем всю эту сборку на поверхность большого мыльного пузыря (или на поверхность мыльного раствора и поднимаем), затем прокалываем пленку внутри модели.
Поверхностное натяжение минимизирует площадь между обручем и моделью, максимизируя тем самым площадь внутри четырехугольника. Далее аккуратно замеряем углы транспортиром.

msb написал "Если же максимизировать площадь, то нужно, чтобы неправильный четырехугольник был ближе всего к квадрату". У квадрата диагонали равны и все углы равны прямые. Значит крестьянину надо построить четырёхугольник у которого разница диагоналей была бы минимальной и хотя бы один угол был прямой. В данном случае четырёхугольник должен состоять из прямоугольного треугольника со сторонами 47 и 28 саженей и треугольника со сторонами 38 и 32 сажени. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 54,7.. саженей и является общей стороной для обоих треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна 48*14=762 квадратным саженям. Площадь второго треугольника со сторонами 54,7... , 38 и 32 сажени вычисляем по формуле Герона и равна 593,7... квадратных саженей. Площадь четырёхугольника равна 1265,7... квадратных саженей. Крестьянин не знал геометрии и алгебры, но по крестьянской смекалке он сообразил что надо вбить первый кол у левого угла  дома в точке А, отмерить в в сторону поля 47 саженей и вбить там второй кол в точке В.  Отмерить от первого кола вдоль дома 28 саженей и вбить там третий кол в точке С. В каждой точке поставить членов своей семьи, сам  взял верёвку длиной 32+28=60 саженей отметил на ней 32 сажени, дал концы этой верёвки держать своим домочадцам в точках В и С, а сам взявшись за метку 32 сажени, пошёл вдаль натягивая верёвку и вбил там  четвёртый кол в точке Д.

При заданном условии предлагается одно решение задачи, а именно определение площади четырехугольника по его сторонам. То бишь, берется веревка достаточной длины, а именно равная периметру сторон (47+38+32+28) саженей. Каждый отрезок отмечается. На поле каждый член семьи (достаточно хозяина и трёх членов семьи, можно заменить колом, вбитым в землю) берет в руки метку на веревке. У хозяина в руках начало и конец веревки. Полученная фигура с натянутой веревкой и определит площадь участка. При этом последовательность сторон не имеет значения тк. площадь в любом случае будет равнозначна и составит 1259,178 сажень^2.
Самостоятельно имеется возможность проверить вычисление по формуле S=√[(p-a)(p-b)(P-c)(�p-d)], где p это полупериметр четырехугольника p=(a+b+c+d)/2
Примерно как то так.

Я придумал вот что.
Проводим линию длиной 47 саженей. Из одного конца, как из центра, рисуем дугу радиусом 38 саженей.
Из другого конца, как из центра, рисуем дугу радиусом 32 сажени.
Берем веревку длиной 28 саженей. Один человек встает на одной дуге, другой берет конец веревки и пытается попасть на другую дугу.
Находим места, чтобы веревка была натянута. Таким образом, мы находим две точки, которые стоят на расстояниях 38 и 32 саженей от концов линии, а расстояние между ними 28 саженей.
Наверное, таких пар точек будет несколько (как минимум, две пары точно будет). Выбираем ту пару, при которой покрытая площадь больше.

Чтобы получить четырехугольник максимальной площади со сторонами a, b, c, d, где
a < b < c < d < a + b + c, достаточно построить треугольники со сторонами a, b, n   и   c, d, n, где
n² = (ac + bd)(ad + bc)/(ab + cd), n — диагональ искомого четырехугольника.
Если порядок сторон не имеет значения, то два других решения можно получить из найденного разрезанием по диагонали и симметрией одного из треугольников.
Площади всех трех четырехугольников, естественно, равны.

Для начала крестьянину нужно взять гусиное перо и листок бумаги (если бумага шибко дорогая, то по примеру Архимеда можно палкой на песке делать построения и вычисления). Посчитать чему равен радиус окружности, описанной вокруг четырёхугольника с заданными сторонами. После этого семью на поле можно не гонять, а ограничиться колышком и верёвкой, имеющей длину не менее 47  саженей.
Радиус равен 26 саженей и ещё примерно так 11 вершков. К сожалению в задаче не указано, какой именно саженью пользовались помещик и крестьянин, а их (саженей) на Руси было до полудюжины. И количество вершков в каждой - разное. Я взял полста вершков на сажень. Более точное значение радиуса 26,2187296492978.

Отмерить  сумму всех сторон как 145 саженей. Потом при помощи верёвки методом научного тыка между отрисовкой больших и меньших кругов с общим центром найти круг соответствующего диаметра к окружности в 145 саженей. Отмерять по его окружности точки соответствующие длинам сторон будущего четырёхугольника и провести от них к центру круга радиальные линии выходящие далеко за пределы полученного круга. Стремясь чтобы отмеренные точки на верёвке находились  на полученных  радиальных линиях максимально натянуть по ним две противоположные и получить искомый четырёхугольник.