В конструкторе "Геометрия на палочках" есть палочки длины 1, 2, 3 и 4, по три палочки каждой длины.
Сколько различных треугольников можно собрать из этого конструктора?

• 22
• 13
• 10
• 9
• 16

">               В данном случае у нас задача на сочетания с повторениями. У нас элементы четырёх видов: это палочки-стороны длиной 1, 2, 3 или 4 см. Их нужно брать каждый раз по три штуки, чтобы в результате образовался треугольник. При этом у треугольника могут оказаться две стороны одинаковой длины (равнобедренный) или даже все три стороны могут получиться равными (равносторонний). Поэтому сочетания у нас с повторениями, а не обычные.
C'(m, n) = P'(m, n – 1) = [(m + n – 1)!]/[m! * (n – 1)!]
В нашем конкретном случае: C'(3, 4) = P'(3, 4 – 1) = P'(3, 3) = (3 + 3)! : (3! * 3!) = 720 : (6 * 6) = 720 : 36 = 20.
Правда, решение задачи на этом не заканчивается. Дело в том, что некоторые тройки окажутся невозможными и такого треугольника не будет существовать. Действует неравенство треугольника: в любом плоском треугольнике сумма длин любых двух сторон, какую бы их пару мы ни взяли, должна быть больше длины оставшейся стороны.
Так что кое-какие варианты придётся исключить. Не уверен, есть ли другой способ решения, но я думаю, что это можно сделать вручную.
Нужно исключить тройки (1; 1; 2), (1; 1; 3), (1; 1; 4), (1; 2; 3), (1; 2; 4), (1; 3; 4) и (2; 2; 4). Итого семь троек "в пролёте". Понятно, что в каждой из них сумма одной пары чисел или равна третьему числу, или больше его — следовательно, такого треугольника быть не может.
Итого 20 – 7 = 13 разных треугольников.
Ответ: 13 треугольников (вариант под номером 2).