Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О и образуют со стороной CD угол 30°. Точка Е расположена вне прямоугольника так, что угол ∠ВЕС=120°.
а) Докажите, что ∠ВОЕ=∠ВСЕ.
б) Найдите длину отрезка прямой ОЕ, расположенного внутри прямоугольника АВСD, если BE=20, CE=12.

в △BCE ∠BEC=120°
BE=20
CE=12
По теореме косинусов:
BC²=BE²+CE²-2BE∙CE∙cos∠BEC
BC=√(20²+12²-2∙20∙12∙cos120°)
BC=√(400+144-2∙20∙12∙(-½) )
BC=√(400+144+240)=√(784)=28
теперь можно определить cos∠BCE и cos∠CBE:
BE²=BC²+CE²-2∙BC∙CE∙cos∠BCE
cos∠BCE=BC²+CE²-BE²=(28²+12²-20²)/(2∙28∙12)=(784+144-400)/(2∙28∙12)=528/(2∙28∙12)=22/28=11/14
sin∠BCE=√(1-(11/14)²)=√(196-121)/14=√75/14=5√3/14
CE²=BC²+BE²-2∙BC∙BE∙cos∠CBE
cos∠CBE=(BC²+BE²-CE²)/(2∙BC∙BE)
cos∠CBE=(28²+20²-12²)/(2∙28∙20)
cos∠CBE=(784+400-144)/(2∙28∙20)=1040/(2∙28∙20)=26/28=13/14
sin∠CBE=√(1-(13/14)²)=√(196-169)/14=√(27)/14=3√3/14
в △BCO:
∠BCO=∠BCD-∠OCD=90°-30°=60°
∠CBO=∠ABC-∠OBC=90°-30°=60°
∠BOC=180°-∠BCO-∠CBO=180°-60°-60°=60°
△BCO равносторонний: BC=OB=OC
Определим cos∠OBE:
cos∠OBE=cos(∠OBC+∠CBE)
cos∠OBE=cos∠OBC∙cos∠CBE-sin∠OBC∙sin∠CBE=½∙13/14-(√3/2)∙(√27)/14=13/28-9/28=(13-9)/28=4/28=1/7
OE=√(BE²+OB²-2BE∙OB∙cos∠OBE)
OE=√(20²+28²-2∙20∙28∙(1/7))
OE=√(400+784-2∙20∙4)=√1024=32
Определим косинус ∠BOE:
cos∠BOE=(OB²+OE²-BE²)/(2∙OB∙OE)
cos∠BOE=(28²+32²-20²)/(2∙28∙32)
cos∠BOE=(784+1024-400)/(2∙28∙32)=1408/1792
наибольший общий делитель 1408 и 1792 равен 128
cos∠BOE=1408/1792=11/14=cos∠BCE
если косинусы углов ∠BOE и ∠BCE равны,и оба угла острые,то равны и сами углы, что и требовалось доказать.
Чтобы найти длину отрезка прямой ОЕ, расположенного внутри прямоугольника АВСD (отрезок  OF) опустим высоту OH.
В △HOF ∠OHF=90°,следовательно,
OF=OH∙cos∠HOF
OH=OB∙cos∠BOH=OB∙cos30°=28√3/2=14√3
∠HOF=∠BOE-∠BOH=∠BOE-30°
cos∠HOF=cos(∠BOE-30°)
sin(∠BOE)=√(1-cos²(∠BOE))
sin∠BOE=√(1-(11/14)²)=√(196-121)/14=√75/14=5√3/14
Определим длину OF:
OF=OH/cos(∠BOE-30°)
OF=OH/(cos∠BOE∙cos30°+sin∠BOE∙sin30°)
подставим известные значения
OF=14√3/((11/14)∙√3/2+5√3/14∙½
OF=14√3/(11√3/28+5√3/28)
OF=14√3/(11√3+5√3)/28=14/16∙28
OF=14√̶3̶/√̶3̶(11+5)/28=14/16∙28=24,5
Ответ:длина отрезка прямой ОЕ, расположенного внутри прямоугольника АВСD равна 24,5