Крокодила Гена и старуха Шапокляк купили десятигранный кубик и играют в игру по следующим правилам:  Первый ход делает старуха Шапокляк.  В свой ход она бросает кубик; если выпадает число от 4 до 10, то право хода остаётся за ней, а иначе ход переходит к крокодилу Гене.  Крокодил Гена в свой ход бросает кубик; если выпадает число от 1 до 9, то ход переходит к старухе Шапокляк, а иначе ход остаётся за ним.  Известно, что игру прервали сразу после 125 хода Гены. Пусть  ξ  – количество ходов, сделанных Шапокляк. Найдите дисперсию  ξ  . Если ответом является конечная десятичная дробь, запишите её без округления. Если бесконечная десятичная дробь — округлите до трёх знаков после запятой.

Для решения задачи необходимо найти вероятность того, что в результате 125 ходов Гены игра закончится, а также вероятность того, что на момент окончания игры ход был у Шапокляк. Затем, используя формулу для дисперсии биномиального распределения, можно найти дисперсию ξ.
Обозначим через P(k) вероятность того, что игра закончится после k ходов Гены. Тогда:
P(1) = 0.1 (вероятность того, что Гена сразу выиграет)
P(2) = 0.9 * 0.4 = 0.36 (вероятность того, что Гена сделает один ход, а затем Шапокляк выиграет)
P(3) = 0.9 * 0.6 * 0.3 = 0.162 (вероятность того, что Гена сделает два хода, а затем Шапокляк выиграет)
P(4) = 0.9 * 0.6 * 0.7 * 0.2 = 0.0756 (вероятность того, что Гена сделает три хода, а затем Шапокляк выиграет)
P(5) = 0.9 * 0.6 * 0.7 * 0.8 * 0.1 = 0.03456 (вероятность того, что Гена сделает четыре хода, а затем Шапокляк выиграет)
P(k) = 0 для всех k > 5 (после 5 ходов Шапокляк выигрывает независимо от того, какие ходы делал Гена)
Вероятность того, что на момент окончания игры ход был у Шапокляк, равна сумме вероятностей P(k) для всех четных k (так как на четных ходах ходит Шапокляк):
P(0) = 0 (на момент начала игры ход у Шапокляк)
P(2) + P(4) = 0.36 + 0.0756 = 0.4356
Таким образом, дисперсия ξ равна:
Var(ξ) = npq = 125 * 0.4356 * 0.5644 ≈ 30.937
Ответ: 30.937 (округляем до трех знаков после запятой).