В треугольнике PQR точка L - пересечение медиан PA и QB. Окружность, описанная около треугольника RAB, проходит через точку L. Найдите длину медианы, проведенной из вершины R, если PQ=18.

Все медианы пересекаются в одной точке, и этот центр масс делит медианы в отношении 1:2, считая от основания.
Из соотношений между отрезками секущих
QL * QB = QA * QR и
PL * PA = PB * PR
Все медианы пересекаются в одной точке, и этот центр масс делит медианы в отношении 1:2, считая от основания. И ещё они делят сторону, на которую опущены пополам.
Предыдущие два соотношения можем переписать в виде
2 QB^2 /3 = QR^2 / 2 => QB = QR sqrt(3) / 2
2 PA^2 / 3 = PR^2 / 2 => PA = PR sqrt(3) / 2
Пусть у нас есть некоторый коэфициент пропорциональности
QR = k PR
тогда тот же самый коэффицент пропорциональности присутствует и для сторон QB и РА, которые в  sqrt(3) / 2 меньше QR и РА.
AR = QR/2; BR = PR/2
AR / BR = QR/PR = k
Треугольник PAR и QBR подобны. Отсюда следует равенство углов
PAR = QBR
Это два угла, которые вписаны в окружность. Если они равны, то равны и дуги LAR и LBR. Углы, поскольку LR делит окружность пополам (а значит это диаметр),  опирающиеся на диаметр - прямые.
В прямоугольных треугольниках PAR и QBR катеты PA и QB относятся к своим гипотенузам PR и QR  как sqrt(3) / 2 (мы это вычислили ранее).
Это означает, что угол PRQ равен 60 градусов. Угол BQR (в том числе) равен 30 градусов. Треугольники PQB и RQB равны, поскольку оба прямоугольные, катет QB общий, а PB = BR (PR делится пополам медианой QB). Углы PQB и RQB каждый равны 30 градусов. Их сумма угол PQR равен 60 градусов. Поскольку и PQR и PRQ равны 60 градусов, то треугольник PQR равносторонний.
Медиана CR в равностороннем треугольнике будет в sqrt(3) / 2 раза меньше стороны.
Таким образом CR = PQ * sqrt(3)/2
Ответ: CR = 9 sqrt(3).