Натуральное число 1≤n≤221 назовём удачным, если при делении 221 на n остаток нацело делится на неполное частное (при этом остаток может быть равен нулю). Сколько существует удачных чисел?

По условию задачи 221 = n*a+k и k=a*m, тогда получается 221=n*a+m*a=a(n+m). Задача сводиться к отысканию чисел, соответствующих условию:  (n+m)=13 или (n+m)=17, где 13 и 17 делители числа 221. При n=0 или m=0 получаем два удачных числа, это делители 13 и 17. При n=1, то же самое. При n=2, 3,4, 5, 6 остаток m меньше 6 (а значит сумма меньше 13 и 17). Проверяем число  n=7, остаток 4, не подходит, При n=8, остаток 5, подходит, при n=9, остаток 5, не подходит, при n=10, остаток 1, нет. При n=11, остаток 1 - нет, при n=12, остаток 5, подходит, при n=14, остаток 11 - нет, при n=15, остаток - 11, нет при n=16, остаток 13 нет. Всего набралось 5 удачных чисел: 1, 8, 12, 13, 17.