В треугольнике ABC угол A равен 60°; AB:AC=3:2. На сторонах AB и AC расположены соответственно точки M и N так, что BM=MN=NC. Найдите отношение  площади треугольника AMN к площади треугольника  ABC. Отношение запишите в виде десятичной дроби.

Уже привычное дело - задача по геометрии, а рисунка нет Приходится доставать свою тетрадку в клеточку, брать карандаш и по линейке или по клеточкам проводить одну прямую, на которой отложим сторону треугольника AC (2 части). Сразу разделим её пополам, отметив середину жемчужиной. Далее берём транспортир и под углом 60° проводим вторую прямую, на которой устанавливаем сторону треугольника AB (3 части, разделённые двумя жемчужинами). Следом за этим нам остаётся лишь соединить между собой точки B и C - треугольник ∆ABC готов.
Кроме того, нам известно о трёх равных отрезках - BM=MN=NC, но не известно значение длины и разместить точки M и N можно только на глаз. Не исключено, что из следует поставить иначе.
 Как бы то ни было, какой-то горе-чертёж мы получили. Теперь на него можно посмотреть оценивающим взглядом и прикинуть, а что вообще можно вычислить, имея исходные сведения? Лично мне видится самое просто - мы можем узнать соотношение сторон большого треугольника через теорему косинусов. Но для начала фрагменты сторон AB и AC, отделённые жемчужинами, обозначим как x и на всякий случай отрезки BM=MN=NC как y.
Тогда сторона BC по упомянутой теореме косинусов равна:
BC² = (2x)²+(3x)²-2(2x)(3x)cos(60°) = 4x² + 9x² - 6x² = 7x²BC = x√7 = x*2,64575131106Хорошо, но пока от этого мало толку. А что, если таким же образом найти отношение y/x. Ведь y = стороне MN малого треугольника. Тогда:
MN² = (3x-y)²+(2x-y)²-2(3x-y)(2x-y)cos(60°)y² = (3x-y)²+(2x-y)²-(3x-y)(2x-y)Интересно, но как-то в мои планы на эту субботу не входило решение дифференциальных уравнений и я это дело перепоручил онлайн-сервису, которые шустро выдал соответствующий ответ:
x = 5/7 * yy = 7/5 * xЯ догадывался, что длина MB должна быть больше трети от AB и, соответственно, длина NC больше половины AC, но теперь нам известны точные соотношения значений x и y. Кстати, это позволяет нам ближе подобраться к значениям длин сторон маленького треугольника:
AM = 3x - y = 3x - 7/5*x = (15-7)/5*x = 8/5*xAN = 2x - y = 2x - 7/5*x = (10-7)/5*x = 3/5*xА теперь самую важную информацию в студию!
В нашей задаче угол ∠A для треугольников ∆ABC и ∆AMN действительно не просто одинаковый, а общий. И тогда пропорция будет иметь следующий вид:
S(amn) / S(abc) = AM * AN / AB * AC = 8/5*x * 3/5*x / 3*x * 2*xОчевидно, что все иксы (x) в нашем случае сокращаются, а итоговое значение мы сразу вычислим с помощью калькулятора:
Ответ, как заказывали, в виде десятичной дроби = 0,16