В первый день один больной заражает трёх человек, каждый из них на следующий день заражает новых трех и так далее. Через сколько дней количество больных достигнет 4096.

Я так понимаю, во второй день уже 4 больных заражают 12 человек. А первый больной вообше самый вредный, каждый день троих новых заражает .
Имеем последовательность количества больных по дням:
4,16,64,256...
То есть число больных увеличивается в геометрической прогрессии с q=4.
B1=4
Bn=4096
n-?
Bn=B1*q^(n-1)
q^(n-1)=4096/4=1024.
n-1=5
Ответ: п=6,то есть на шестой день количество больных станет равно 4096.