Следующая задача а-ля Арнольд. В тестах по математике для американских школьников предлагается такая задача. "В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна шести дюймам. Чему равна площадь этого треугольника, если длина гипотенузы равна 10 дюймам?". Практически все школьники успешно справлялись с этой задачей. Но когда ее предложили в российской школе (с математическим уклоном!), никто из школьников не смог ее решить. Почему? Ответ нужно обосновать.

Потому, что треугольника с гипотенузой 10 и высотой к ней 6 (всё равно чего)в природе не существует. Максимальная высота - 5.
                                                                              

Да любой так сразу решит, американец тем более, основание умножить на высоту, и пополам, а вот тот, кто сделает чертёж, столкнётся с вопросом. Как это высота 6, а диаметр окружности, d, в которую вписан (должен быть вписан прямоугольный треугольник), только 10, а радиус, в том числе и высота h, должны быть равны r =  d/2 = 10/2 = 5 . Приведу чертёж из статьи.
 Из чертежа понятно, что основание треугольника, то есть диаметр окружности d = 10, радиус окружности равен высоте r = h = 5, и наши школьники начертив чертёж, увидели, что не бывает такого прямоугольного треугольника. А американским школьникам по барабану, есть формула, вставляй значения, и всё.

Ну тут яснее ясного: для гипотенузы 10 дюймов максимальная высота только 5 дюймов.
Эта ваша задачка родственна московско-питерским рассветам: высота, опущенная на гипотенузу -
среднее геометрическое отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу,
и время до встречи машин - тоже среднее геометрическое времен после встречи до прибытия в конечные точки.

Я закончил латвийскую школу, что почти тоже самое. такую геометрию  мы изучали в 8 или 9 классе. Это было 15-16 лет назад. сейчас я с легкостью вспомнил формулу: Площадь треугольника - это 1/2(основание * высота). Здесь даже задачи нет, надо просто подставить в формулу. В моем классе это решили бы половина школьников, которые вообще могли решать задачи.
По вопросу могу предположить только:
1) нашим задачу дали на английском
2) был еще какой-то нюанс, который делал ответ неправильным

Почему же русские школьники не смогли задачу с которой справлялись абсолютно все американские школьники?
Ответ простой: в Евклидовой геометрии, которую раньше изучали в школах (да и сейчас по многим программам) такого треугольника просто не могло существовать. При условии, что дано: треугольник с гипотенузой 10 и высотой 6. Высота опущенная на гипотенузу достигает максимума в случае, если она совпадает с медианой. Медиана равна половине гипотенузе. Значит высота опущенная на гипотенузу соответствует значению 0<h≤m, где m-медиана, с - гипотенуза (m=с/2). Условия задачи относительно Евклидовой геометрии некорректны, т.к не соответствуют этому соотношению.

Автор вопроса прав говоря, что в российской школе с математическим уклоном никто из школьников не смог решить задачу по условию задачи - не ответили, чему равна площадь предложенного прямоугольного треугольника. Объяснение этому дано в ответах - такого треугольника в природе не существует. Но это не значит, что российские школьники не решили задачу. Напротив они правильно её решили, ответив, что такого треугольника не бывает, а американские школьники дали не верное решение.

Ответ - 30 кв. дюймов. Она в уме решается. А наши школьники не смогли решить потому, что приямоугольные треугольники в России и США изображаются по разному. У нас треугольник стоит на катете, у них стоит на гипотенузе. Вот теперь рисуйте стоящий на гипотенузе треугольник, опускайте на гипотенузу высоту и по формуле S = hL/2 спокойненько так в уме всё и высчитывайте.