Помогите решить Конечно ли число точек на окружности? Внутри? Как подсчитать?.

Количество точек на окружности (и на прямой) бесконечно и имеет мощность континуума, как говорят в теории множеств.
Это значит, что оно бесконечно больше, чем количество целых или рациональных чисел на той же координатной прямой.
Множество целых, или натуральных, или даже рациональных, чисел - счетно, имеет множество Алеф-нуль.
Мощность континуума условно считается Алеф-один. Очень интересный вопрос в теории бесконечных множеств:
Существует ли множество, мощность которого больше, чем счетного множества, но меньше континуума?
Пока что ни доказать, ни опровергнуть эту гипотезу не удалось, хотя основатель теории множеств Георг Кантор считал, что такого множества нет.
Следующий вопрос: какова мощность множества точек на плоскости, или, например, внутри окружности? А в шаре?
Так вот, тот же Георг Кантор сначала считал, что мощность точек на прямой Алеф-один, на плоскости Алеф-два, в пространстве Алеф-три, и так далее.
Но потом ему удалось доказать, что мощность точек и на прямой, и на плоскости, и в пространстве одинакова - континуум.
За подробностями отсылаю вас к статье Мартина Гарднера "Иерархия Алефов и сверхзадачи", там это все подробно описано.
Так что ответ на ваш вопрос однозначен: количество точек на окружности равно количеству точек в круге и в шаре.
                                                                              

Вопрос касается не столько геометрии, сколько математики, а точнее относится к области математических софизмов.
В математике точка представляет собой одно из фундаментальных понятий и ее определение:
позволяет приравнять её величину к нолю.
Имея некую величину, площадь S или длину L, мы можем разделить её на другую величину N, чтобы посчитать количество этого самого N.
S/N=?
L/N=?
В нашем случае, значение величины N нулевая, то есть её нет, за N ничего не скрывается. В результате, ничего не имея, мы ничего и не получаем.
Значит ли это, что сложить N с S или с L невозможно и также невозможно поставить точку на окружности или внутри её?
Очевидно, что это не так, поставить точку можно и операцию сложения так же можно произвести. Только результат такого действия ни к чему не приводит, каждая следующая точка ничего не привносит и их можно ставить бесконечное множество. Следовательно, количество точек равно бесконечности.

И да и нет . Все зависит от значения которое вы вкладываете в понятие "точка". В первом значении ответ "бесконечно" а следовательно посчитать невозможно.
Во втором значении ответ "да" для каждой конкретной окружности определенного размера. Для этого варианта достаточно посчитать длину окружности (и площадь круга ограниченного данной окружность) в каких либо линейных (площадных) единицах измерения, и разделить на линейные (площадные) размеры точки, как единицы измерения. Т.е. в данном случае это будет значит количество (число) данных единиц измерения в исследуемом объекте (геометрической фигуре). Формулы длины окружности и площади круга надо? Ну ладно, нехай будут.

Бесконечно. Точка - это абстрактный объект не имеющий измерения. Если предположить, что мы расставили конечное число точек на окружности, и нам кажется что больше точек не вместятся, то мы всегда можем увеличить масштаб и увидеть зазоры между поставленными нами точками (так как точки бесконечно малы, они не имеют измерения). Заполнив зазоры, мы снова можем увеличить масштаб и т.д. Аналогично можно доказать, что внутри окружности число точек тоже бесконечно.

Бесконечно и несчётно, имеет мощность континуума (алеф-один). Количество точек внутри также бесконечно и несчётно и имеет такую же мощность.