Мне преподаватель в институте сказал, что производная d2z/(dxdy) НЕ ВСЕГДА равна d2z/(dydx).
Может кто-нибудь привести пример функции двух переменных, у которых эти производные НЕ РАВНЫ друг другу?
Или наоборот, доказательство, что они равны ВСЕГДА, а мой препод ошибся?

Сперва замечу, что вопрос озаглавлен неудачно: как следует из пояснения, он не о любых производных 2-го порядка, а о смешанных, и не «Кто что знает?» (и побольше, побольше), а о возможности их неравенства.
Давненько я не брал в руки учебников по математическому анализу, и уже не помню, что именно в них написано по этому поводу, ну и не буду их трогать, попробую ответить своим умом.
Первое, что приходит на ум — это повторные пределы, как известно, они могут при определённых условиях оказаться не равны, например, если в данной точке не существует предела функции в целом (называемого в одних источниках общим, в других, для случая функции именно двух переменных, — двойным или двукратным).
Производные — это частный случай пределов — пределы отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Смешанные производные — это повторные пределы, так как предел последовательно находится по приращениям различных аргументов дифференцируемой функции. Но вот являются ли смешанные производные при различном порядке дифференцирования повторными пределами одной и той же функции приращений аргументов исходной функции? Это хотя и правдоподобно, но не совсем очевидно, поэтому проверим.
Производная функции f(x,y) по x как предел:
g(x,y) := D[f(x,y),x] = Limit[(f(x+dx,y)-f(x,y))/dx, dx->0];
производная от неё по y:
D[D[f(x,y),x],y] = D[g(x,y),y] = Limit[(g(x,y+dy)-g(x,y))/dy, dy->0] =
= Limit[(Limit[(f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy))/dx, dx->0] - Limit[(f(x+dx,y)-f(x,y))/dx, dx->0])/dy, dy->0] =
= Limit[Limit[(f(x+dx,y+dy)-f(x+dx,y)-f(x,+dy)+f(x,y))/(dx*dy), dx->0], dy->0].
Под знаками пределов получилось выражение симметричное относительно как x и y, так и dx и dy, и, поэтому очевидно, оно же получится при дифференцировании в другом порядке:
D[D[f(x,y),y],x] = Limit[Limit[(f(x+dx,y+dy)-f(x+dx,y)-f(x,+dy)+f(x,y))/(dx*dy), dy->0], dx->0].
То есть смешанные производные действительно являются повторными пределами одной и той же функции (заметим, что это не функция от аргументов x и y исходной дважды дифференцируемой функции (точка (x,y) полагается фиксированной), а функция от их приращений dx и dy).
Таковы общие соображения, по которым того, кому уже известно о возможном неравенстве повторных пределов (а при последовательном изучении курса математического анализа так и должно быть), не должна удивлять возможность неравенства смешанных производных; пример в своём ответе привёл коллега epimk�in. Буду рад, если кто-то даст более обстоятельный ответ на этот познавательный вопрос коллеги Mefody66. Интересующиеся могут также выполнить поиск в Интернет по запросу «равенство смешанных производных» (или «неравенство...»).
                                                                              

Почитайте в интернете теорему Шварца о смешанных производных