На плоскости дана точка P. Какое наименьшее количество прямых, не проходящих через точку P, можно выбрать на плоскости так, чтобы любой луч с началом в точке P пересекал хотя бы 190 выбранных прямых?

Возьмем точку P на плоскости и проведем прямую L1 не проходящую через P
Тогда можно провести два противоположных луча из точки P (p2 и p3), которые параллельны прямой L1 и эти 2 луча делят плоскость на 2 полуплоскости. Все лучи вида p1, находящиеся в одной полуплоскости с прямой L1 будут её пересекать. А все лучи находящиеся в другой полуплоскости не пересекут прямую L1. Следовательно 1 прямой для пересечения всеми лучами хотя бы 1 раз недостаточно. Есть такие лучи, например  p2 и p3, которые не пересекут L1
Тогда построим прямую L2 отличную от L1 и не параллельную ей. Если возьмем параллельную, то снова p2 и p3 не пересекут её.
Но тогда прямая L2 пересечет один из лучей (например p2), а p3 - не пересечет. Так как p2 и p3 - полупрямые, составляющие одну прямую "p". А прямая "p" уже пересекается своей частью p2 c другой прямой L2 и больше точек пересечения быть не может (две прямые имеют не более одной точки пересечения).
Таким образом 2-х прямых для пересечения всеми лучами хотя бы 1 раз недостаточно. Есть такие лучи, например p3, который не пересекут L1 и L2
Тогда построим прямую L3 отличную от L1 и L2, таким образом, чтоб прямые  L1, L2, L3 образовали треугольник и точка P лежала внутри этого треугольника.
Так как прямые образуют замкнутую линию вокруг точки P, то любой луч из точки P обязательно пересечет эту линию. Причем будут такие лучи, которые пересекут эти прямые только 1 раз. Например проведем прямую через точку пересечения L1 L2 и проходящую через точку P. Один из лучей принадлежащей этой прямой из точки P пересечет только прямую L3
Таким образом доказали, что для того чтоб любой луч из точки P пересекал хотя бы 1 прямую необходимо провести минимум 3 прямые.
Далее по индукции. Для 1 пересечения показали, что нужно 3 прямые. Пусть для n пересечений надо 3n прямых, тогда докажем, что для n+1 пересечения, понадобится 3(n+1) прямые.
Рассуждения абсолютно аналогичные, как и с 1 пересечением. Пусть есть 3n прямые. Добавим еще 1: L1. Будут лучи которые не пересекут её. Добавим еще прямую L2, снова найдется луч, который не пересечет эти прямые. И добавим третью прямую L3, чтоб образовали треугольник вокруг точки P и получим для всех лучей как минимум еще одно пересечение с прямой.
Таким образом добавив к 3n прямым еще 3, получим 3n+3 = 3(n+1) прямые и n+1 пересечение.
В условии дано n=190. Получим надо 3•190 = 570 прямых минимум.
Ответ: 570 прямых       
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Наименьшее число линий, которые не проходят через точку P, которое может быть выбрано на плоскости так, чтобы любой луч, начинающийся в точке P, пересекал по меньшей мере 190 выбранных линий, равно 192.
Как было сделано решение:
Наименьшее количество необходимых линий должно содержать ровно столько линий, чтобы пересечь 190 лучей из точки P.
Любые дополнительные линии будут содержать луч, который уже пересекается одной из выбранных линий.
Таким образом, требуется всего 192 линии, чтобы гарантировать, что каждая из 190 линий, выходящих из точки P, будет пересекать по крайней мере одну из 192 линий, не проходящих через P