В угол вписана последовательность окружностей. Каждая окружность касается двух соседних и сторон угла.
Рисунок прилагается.
Радиус 365-ой окружности равен 12, а радиус 465-ой окружности равен 18.
Внимание, вопрос: чему равен радиус 265-ой окружности?
И отдельный вопрос: можно ли по этим данным определить величину угла? Мне кажется - можно, но я не знаю, как.

Обозначим вершину угла точкой О, а дальние концы лучей буквами А и В. Для удобства последующих выкладок обозначим заданный угол (АОВ) 2*альфа (2*а). Проведём биссектрису угла. Естественно, центры всех окружностей будут располагаться на этой биссектрисе. Обозначим их точками О с индексами, т.е. О1, О2 ... О465. Обозначим точки касания на одном из лучей точками А1, А2 ... А465, и проведём соответствующие радиусы О1А1, О2А2 ... О465А465. Получим последовательность прямоугольных трапеций. Рассмотрим первую трапецию О1А1А2О2. Верхнее основание её равно r1, нижнее r2, сторона О1О2 равна r1+r2. Проведём из точки О1 прямую О1С2, параллельную лучу ОА. Трапеция О1А1А2О2 разобьётся на прямоугольник О1А1А2С2 и прямоугольный треугольник О1С2О2 с углом С2О1О2 равным а, с меньшим катетом r2-r1 и гипотенузой r2+r1.
sin(a)= C2O2/O1O2=(r2-r1)/(r�2+r1).
Обозначим r2-r1=х1, тогда r2=r1+х1, r2+r1=2r1+х1, sin(a)=х1/(2r1+х1). ==> х1=(2r1+х1)*sin(a),
==> х1=2r1*sin(a)+х1*sinSHY, ==> х1*(1-sin(a))=2r1*si�n(a),  ==> х1=2r1*sin(a)/(1-sinSHY).
Итак, получили: х1=r1*(2*sin(a)/(1-s�in(a)). Обозначим множитель 2*sin(a)/(1-sin(a)) буквой К.
Тогда получаем  х1=r1*К, и r2=r1+x1=r1*(1+К).
Очевидно, что если бы мы рассматривали трапецию О2А2А3О3, то получили бы:
r3=r2*(1+К)=r1*(1+К)�^2.
Обобщая полученную формулу на всю задачу, получаем:
r465=r1*(1+К)^464, r365=r1*(1+К)^364, r265=r1*(1+К)^264.
r465/r365=r1*(1+К)^4�64/(r1*(1+К)^364)=(1+�К)^100. Поскольку r465=18, r365=12, то r465/r365=1,5, или (1+К)^100=1,5.
Аналогично, r365/r265=r1*(1+К)^3�64)/(r1*(1+К)^264)=(1�+К)^100.
Значит r365/r265=1,5 и  r265= r365/1,5=12/1,5=8.
Определение угла:
2*sin(a)/(1-sin(a))=�К, ==> 2*sin(a)=К*(1-sin(a)�), ==> 2*sin(a)=К-К*sin(a))�,
==> 2*sin(a)+К*sin(a))=К�, ==> (2+К)*sin(a)=К, sin(a)=К/(2+К)
Из выражения (1+К)^100=1,5 получаем  1+К=1,5^0,01, К=1,5^0,01-1.
sin(a)=К/(2+К)=(1,5^�0,01-1)/(2+(1,5^0,01-�1))=(1,5^0,01-1)/(1,5�^0,01+1)).
sin(a)=(1,004062882-�1)/(1,004062882+1)=0,�002027323.
а=arcsin(0,002027323�)=0,002027324 радиан или 0,116157118°.
                                                                              

Sin A/2 = (R₂ − R₁)/(R₂ + R₁) = (R₃ − R₂)/(R₃ + R₂).
Откуда R₂² = R₁·R₃.
То есть радиусы образуют геометрическую прогрессию.
Стало быть,
R₃₆₅² = R₂₆₅·R₄₆₅
R₂₆₅ = 8.
Sin A/2 = (R₂ − R₁)/(R₂ + R₁) = (q − 1)/(q + 1), где q¹⁰⁰ = 3/2.

Изменение радиуса за 100 окружностей (465-365) произошло на 6 (18-12), следовательно радиус 265 окружности должен быть на 6 меньше радиуса 365 окружности. Ответ 6 (12-6). Я могу конечно ошибаться, но по логике я рассудил правильно. Подождите, может кто-то предложит другое решение этой задачи. Способов много.Есть еще вариант. Если провести биссектрису этого  угла, то она пройдет через центры окружностей. Опускаем перпендикуляры из точки соприкосновения верхней стороны к центру 365 и 465 окружностей и получаем равнобедренную трапецию.Высоту трапеции принимаем за сто (465-365. Основание треугольников будет равно (18-12):2 = 3. Имеем два прямоугольных треугольника. Угол, образованный гипотенузой и малым катетом, подобен половине угла, в котором окружности.Берем тангенс этого  угла и по таблице Бредиса определяем величину этого угла в градусах Умножаем её на 2 и получаем в градусах величину исходного  угла.Это мои варианты, но они требуют проверки. Ждите и вам придет правильное решение.