Товарный поезд каждую минуту проезжает на 200 метров меньше, чем скорый, и на путь в 240 км тратит времени на 1 час больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда.

Можно решать и несколько иначе.
Сначала всё так же переведём разницу скоростей поездов из метров в минуту в более привычные километры в час:
200 м/мин = 12000 м/ч = 12 км/ч
А само решение предлагаю вести, через время и скорость ( так и уравнение получится попроще и в данном случае, можно будет его решить без всяких квадратов и т.п. ).
Пусть товарняк ехал t часов, тогда скорый на тот же путь затратил ( t - 1 ) часов.
Скорость скорого поезда можно найти так 240 / ( t - 1 ), скорость товарного поезда 240 / t, а их разность, по решению выше, равна 12 км/ч, следовательно, можно составить уравнение:
240 / ( t - 1 ) - 240 / t = 12 обе части уравнения делим на 12
20 / ( t - 1 ) - 20 / t = 1 левую часть приводим к общему знаменателю
[ 20t - 20( t - 1 ) ] / [ t( t - 1 ) ] = 1 сокращаем, что сможем
20/[ t( t - 1 ) ] = 1
t( t - 1 ) = 20 и вот уже это уравнение можно решить практически в уме
t = 5 или t = -4 только второй вариант нам не подходит, т.к. время не может быть отрицательным числом.
Выходит, что товарный поезд на весь путь затратил t = 5 часов, а его скорость составляет
240 / 5 = 48 км/ч
                                                                              

200 метров в минуту это 12000 м/час=12 км. /час.
Пусть скорость товарного поезда х км. /час.
Тогда у скорого поезда скорость будет (х+12) км. /час.
Чтобы найти время пути надо путь разделить на скорость.
Путь равен 240 километров.
Составим уравнение :
(240/х)-1=240/(х+12)
(240-х)/х=240/(х+12)
240х=(240-х)(х+12)
240х=240х-х^2+2880-12х
х^2+12х-2880=0
D=144+4*2880=11664
Корень из D=108
Положительный корень равен:
( - 12+108)/2=48 км/час.
Ответ: скорость товарного поезда - 48 ем. /час.
А у скорого скорость (48+12)=60 км. /час.

Стандартная арифметическая прогрессия, но правильный ответ уже дан Троховым. То есть если пересчитать учитывая  формулы арифметической прогрессии. То и получится соответствующий ответ. Формула арифметической прогрессии:
an = a1 + d * (n - 1)
То есть энный член арифметической прогрессии равен сумме первого члена и дискриминанта умноженного на на последний член минус единицу.
При подстановки чисел в формулу мы увидим результат 48км/ч и 60км/ч при разнице в 200 метров.

Поскольку задача явно решается в целых числах, то выпишем все более-менее реальные случаи скоростей, за которые преодолевается поездом перегон в 240км: 
40км/ч  6ч,
48км/ч  5ч,
60км/ч  4ч,
80км/ч  3ч,
120км/ч  2ч,
чтобы нам подобрать нужную пару (из этого диапазона скоростей, каждая следующая обеспечивает проезд перегона на час меньше предыдущей), переведём эти скорости из км/ч в м/мин:
40км/ч    666.67м/мин,
48км/ч    800.00м/мин,
60км/ч   1000.00м/мин,
80км/ч   1333.33м/мин,
120км/ч   2000.00м/мин,
как отсюда видно, только пара 48км/ч и 60км/ч удовлетворяет условию разрыва ровно в 200 метров за минуту. Это и будут искомые скорости поездов.