Нужно найти числа, которые скрыты в четырёх прямоугольниках, чтобы все равенства были соблюдены. Числа не могут быть отрицательными и равны нулю. Какие это числа?Ответ должен иметь логику ваших рассуждений.

Ира ЛДВО на БВ, ну как тут опять не возмущаться Вашим изложением условия задачи? Ну кто так формулирует:
Неужели нельзя было написать чётко и ясно:
"Числа не могут быть отрицательными и равными нулю"
Есть же правила русского языка, сводящее всё к логически верной семантике. Ну, да, ладно.
Разница в нижнем ряде равна 12, значит, левое нижнее число относительно большое, а правое нижнее число относительно малое. Тогда в верхнем ряде будет наоборот - правое число будет больше левого, возможно, что незначительно. 
То, что числа целые, это быстро отметается, ибо варианты, когда левое нижнее число может иметь единственные допустимые значения:
13, 14, 15 и 16
не дают правильного расклада. Причём заметно, что 13 и 14 дают один расклад, а вот 15 и 16 дают немного другой расклад для суммы верхнего ряда.
Напрашивается логически верный вывод, что левое нижнее число это 14.5 и вот тут всё совпадает:
2.5   7.5
14.5   2.5
                                                                              

Исходя из данных условий, ясно, что варианты выбора чисел ограничены.
Определим эти границы:
А) Оба неизвестных числа горизонтальной верхней суммы должны быть меньше числа 10, но больше чем ноль.
Б) Оба неизвестных числа вертикальной правой суммы должны быть меньше числа 10, но больше чем ноль.
В) Левое нижнее неизвестное число должно быть больше числа 12 (иначе не получится горизонтальная нижняя разность), но меньше чем 17 (иначе не получится вертикальная левая сумма).
С левого нижнего числа и начинаем подбор, потому что вариантов его всего четыре:
12 > Х < 17
1) Подставим число 13.
Тогда справа по горизонтали ставим 1.Слева по вертикали ставим 4.Найти общее слагаемое в две перекрестные суммы с результатом 10 невозможно.2) Подставим число 14.
Тогда справа по горизонтали ставим 2.Слева по вертикали ставим 3.Найти общее слагаемое в две перекрестные суммы с результатом 10 невозможно.3) Подставим число 15.
Тогда справа по горизонтали ставим 3.Слева по вертикали ставим 2.Найти общее слагаемое в две перекрестные суммы с результатом 10 невозможно.4) Подставим число 16.
Тогда справа по горизонтали ставим 4.Слева по вертикали ставим 1.Найти общее слагаемое в две перекрестные суммы с результатом 10 невозможно.Вывод: решения нет.
Можно размышлять иначе.
Учитывая, что:
верхняя горизонтальная сумма и правая вертикальная сумма имеют одинаковый результат: число 10;обе эти суммы имеют общее слагаемое в правом верхнем углу;то и второе слагаемое у них должно быть одинаковым.При таких условиях верного решения данного задания не существует.
P.S.
Я решала пример для целых чисел.
Увидев, что есть правильный ответ автора Nasos с десятичными числами, снимаю шляпу.

Ну что ж на сей раз я отступлю от правила и напишу логику решения с проверкой не дождавшись всех ответов. Как все видят здесь три неизвестных. Это "x, y и z". Почему 3, а не 4? потому что первое горизонтальное уравнение и 2-е вертикальное уравнение одинаковые в первом и среднем члене. Его я принимаю за "х", а остальные за "у и z". Составлю систему уравнений из трёх, и вычту из 1-го 2-е, а 2-е прибавлю. Впрочем, можно было и без этого обойтись:
x + y = 10.
(- минус)
x + z = 17.
(+ плюс)
z - x = 12.
= (равно)
x - x + z + y - z - x = 5. Иксы уничтожились и зеты тоже, осталось:
y - x = 5. Выражу "у" через "х"
y = 5 + x.
Возьму первое уравнение и подставлю значения "у"
x + y = 10.
x + x + 5 = 10.
2x = 5.
x = 5/2 = 2,5.
А теперь вычислю "у"
y - x = 5.
y - 2,5 = 5.
y = 7,5.
И осталось вычислить "z"
x + z = 17.
2,5 + z = 17.
z = 17 - 2,5 = 14,5.
А теперь подставлю числовые значения "x, y и z" и проверю:
2,5 + 7,5 = 10.
14,5 - 2,5 = 12.
2,5 + 14,5 = 17.
7,5 + 2,5 = 10.
Смотрим на картинку:
Поговаривают, что данную задачу задают китайским школьникам в начальных классах, и они должно её решить в уме. За достоверность я не отвечаю. Я в уме решить не смогла.
P.S. Очень жаль. Логика отвечающей Диалектики была верной и элегантной, но она не заметила подвоха, что числа не обязаны быть целыми. Однако ещё есть время отредактировать ответ. Важно, чтобы ученики российских школ увидели правильные ответы.