Рассмотрим стозначное число вида: 333...336 (в числе 99 троек и одна шестёрка в разряде единиц). Сколько чётных цифр в десятичной записи квадрата этого числа?

Наверное, строго математически доказать это не смогу. Не шибко силён я в доказательствах. Но закономерность я нашёл, поэтому хотелось бы дать ответ.
Будем возводить в квадрат числа, которые состоят из энного числа троек подряд в начале, начиная с одной тройки, и одной шестёрки в самом конце в разряде единиц.
36² = 1296;
336² = 112896;
3336² = 11128896;
33336² = 1111288896;
333336² = 111112888896
..
и так далее.
Вывод: при возведении в квадрат натурального числа из n цифр (n ∈ N, n ≥ 2), из которых первые n – 1 цифра — это тройки, а последняя цифра — шестёрка, получится число, которое содержит 2n цифр. Из них n цифр будут чётными: одна двойка, n – 2 восьмёрки между двойкой и предпоследней цифрой-девяткой и одна шестёрка на конце.
Если n = 100 (99 троек и 1 шестёрка в конце), то при возведении в квадрат получится число из двухсот цифр, из которых ровно половина, то бишь сто цифр, будут чётными. А именно: одна двойка, 98 восьмёрок и одна шестёрка.
Ответ: сто чётных цифр.