Лена и Тимофей родились в один и тот же день в разные годы. В прошлом году Лена была в 3 раза старше Тимофея. В этом году возраст Лены равен квадрату возраста Тимофея. Сколько лет Тимофею?

Пусть Тимофею в прошлом году было х лет, тогда Лене было 3х лет. В этом году Лене (3х + 1) лет, а Тимофею (х + 1) лет. Приравняем возраст Лены к квадрату возраста Тимофея:
3х + 1 = (х + 1)²
3х + 1 = х² + 2х + 1
х² - х = 0
Разложим на множители:
х * (х - 1) = 0
х = 0 или х - 1 = 0, тогда х = 1.
х не может быть равен 0, потому что тогда условия задачи не будут соблюдены. Поэтому х = 1 год - было Тимофею в прошлом году. В этом году Тимофею 1 + 1 = 2 года.
Проверим. В прошлом году Лене было 1 * 3 = 3 года, в этом году Лене 3 + 1 = 4 года.
4 = 2²
4 = 4. Всё верно.
Ответ: в этом году Тимофею уже 2 года.
                                                                              

В прошлом году Лена была в три раза старше Тимофея, значит, выражаем прошлогодний возраст Тимофея через х, а Лены - через 3х.
Этогодний возраст Тимофея выражаем через х + 1. Возраст Лены - через 3х+1, что равно квадрату этогоднего возраста Тимофея.
Составляем уравнение:
(х + 1)² = 3х + 1
Возводим во вторую степень левую часть уравнения:
х² + 2х + 1 = 3х + 1
Переносим всю правую часть уравнения влево:
х² + 2х + 1 - 3х - 1 = 0
Решаем уравнение:
х² - х = 0
Выносим х за скобки
(х - 1)х = 0
Делим на х обе части уравнения:
х - 1 = 0
х = 1.
Итак, в прошлом году Тимофею был 1 год, а Лене - 3 года. Значит, в этом году Тимофею 2 года, а Лене - 4.
Ответ:  Тимофею 2 года