Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину медианы, проведённой к стороне BC,  если угол BAC равен 47°, угол BMC равен 133°, BC=4√3.

Данная задача затрагивает почти всю программу 8-го класса.
Нарисуем рисунок обозначим медианы и сделаем дополнительное построение
1) Рассмотрим ∠BMC = ∠NML = 133° (вертикальные углы)
2) Теперь рассмотрим четырехугольник ALMN: Сумма противоположных углов ∠NAL + ∠NML = 47° + 133° = 180° - значит вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность
3) Построим эту окружность и рассмотрим её. CA и CN - секущие для этой окружности из одной точки. А для таких секущих произведение её длины на внешнюю часть одинаково (равно квадрату касательной из этой точки). То есть СN • CM = CA • CL
Заметим, что СN = (3/2)•CM (медиана делится точкой пересечения М в отношении 2:1)
CA = 2CL (стороны медианами делятся пополам)
Получаем (3/2)•CM² = 2CL² или CL² = 3CM²/4 или
CL = (√3/2)•CM
4) Аналогично рассмотрим секущие из одной точки B: BL и BA и получим также
BN = (√3/2)•BM
5) Построим среднюю линию LK, она параллельна AB и LK = AB/2 = AN
И среднюю линию NK, она параллельна AC и NK = AC/2 = AL
Следовательно ALKN - параллелограмм, а значит сумма односторонних углов равна 180°
То есть ∠LAN + ∠ANK = 180°, откуда ∠ANK = 180° - 47° = 133°
6) Рассмотрим ∆ANK и ∆BMC - они подобны по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними. NK : CL = √3/2 (из пункта 3); NA : BM = √3/2 (из пункта 4) и ∠ANK = ∠BMC = 133°
Тогда AK : BC = √3/2 или AK = (√3/2) • BC = (√3/2) • 4√3 = 2•3 = 6
Ответ: медиана к стороне BC равна 6