На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 33. Для каждых двух написанных чисел а и b таких, что а < b, ни одно из написанных  чисел  не  делится  на  b–a  и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b–a.
А) Могли ли на доске быть написаны числа 11, 12, 13?
Б) Среди написанных на доске чисел есть число 15. Может ли N быть равным 18?
В) Найдите наибольшее значение N?

ответ на вопрос б):
для простоты изложения, расположим все числа в порядке возрастания
напомним, что из ответа на вопрос а) следует, что не может быть 3-х чисел, идущих подряд
предположим, что N равно 18,
тогда среди данных чисел есть по крайней мере 1 пара чисел, идущих подряд (т.е например 2,3 или 16,17 и т.п)
доказать это несложно: для того, чтобы не было чисел идущих подряд, нужно чтобы соседние числа отличались не менее чем на 2, при этом минимальное число это 1, тогда следующее 3, следующее 5 и т.д до 1+17*2=35, но по условию задачи максимальное число - это 33
т.е обязательно должна быть хотя бы 1 пара чисел х, х+1
тогда из ответа на вопрос а) следует, что не может быть чисел х-1 и х+2
теперь вспоминаем, что среди чисел есть число 15, у которого есть делители: 3 и 5
а значит не может быть чисел: х+3,х+4,х+5,х+6 также не может быть чисел х-2,х-3,х-4,х-5
т.е не может 5-ти чисел, следующих за парой х, х+1 и не может 5-ти предшествующих чисел
крайние случаи, это пары 1,2 или 32,33 - данные пары удаляют из рассмотрения только 5 последующих или предшествующих чисел. Но в любом случае наличие на доске пары чисел, идущих подряд удаляет из рассмотрения как минимум 5 возможных вариантов чисел
уберем из набора пару х, х+1
остается 16 чисел из 26 оставшихся вариантов (26=33-2-5)
тогда среди них также есть пара чисел, идущих подряд, уберем также из набора данную пару
остается 14 чисел из 19 оставшихся вариантов (19=26-2-5)
по аналогии, несложно доказать, что среди них обязательно найдутся 3 числа, идущих подряд, а это невозможно
вывод:
если среди написанных на доске чисел есть число 15, то N не может быть равным 18
                                                                              

начнем с ответа на вопрос а):
13-11=2
число 2 является делителем числа 12,
значит на доске не могут быть написаны числа 11, 12, 13