В один ряд расположены 1 000 фишек. Любые две фишки, расположенные через одну, разрешается поменять местами. Можно ли переставить фишки в обратном порядке?

Это задача решается просто используя понятие чётности.
Пронумеруем места и фишки от 1 до 1000. В данном расположении номер места соответсвует номеру фишки.
Меняя фишки через одну, фишка может "гулять" только по местам изначальной четности.
Например фишка №1 стоит изначально на 1 месте (нечётное место). Меняясь через одну фишку она сможет попасть на нечётные места 3; 5; 7; и т.д. до 999. Но она никогда не сможет попасть на чётное место.
А чтоб быть фишкам в обратном порядке, фишка №1 должна попасть на место № 1 000. А это невозможно.
Ответ: нет.