На балу каждая дама танцевала ровно с 7 кавалерами, а каждый кавалер танцевал ровно с 4 дамами.
a) Могло ли на балу быть ровно 99 человек?
b) Могло ли на балу быть ровно 100 человек?

Буем рассматривать задачу с учетом вопроса про танцующих людей (иначе задача не имеет интереса).
Пусть вначале на балу танцующих не было. И тут появляется 1 кавалер. Он должен танцевать с 4 дамами. Заметим, что с разными дамами (чего в условии тоже нет) иначе опять особого интереса в задаче нет.
Таким образом при добавлении 1 кавалера, должно появиться как минимум 4 дамы;
Аналогично с появлением 1 дамы, ей надо станцевать с семью кавалерами. Опять же оговоримся, что с разными (чего опять же в условии нет).
Итак получается, что с появлением 1 кавалера или 1 дамы на балу должно быть минимум 7 кавалеров и 4 дамы. Итого 4+7 = 11 человек (танцоров). Причем условие будет выполнено, потому что каждая дама из 4 станцует с этими 7 кавалерами, а каждый кавалер из этих 7 станцует с 4 дамами.
Аналогично, если появляется дополнительный 8 кавалер, то для него должны прийти еще 4 дамы, и при появлении 5 дамы для нее должны прийти новых 7 кавалеров.
То есть при добавлении 1 кавалера или 1 дамы к уже пришедшим 11 человекам, снова должно добавится 7 кавалеров и 4 дамы, всего +11 человек.
Итак далее. Может добавляться только по 11 человек (7 кавалеров и 4 дамы). То есть количество человек кратно 11
Теперь ответы на вопросы
а)Могло ли на балу быть ровно 99 человек?
Ответ: Да, могло. Потому что 99 делится на 11 без остатка (равно 9)
Будет 9•7 = 63 кавалера и 9•4 = 36 дам
б) Могло ли на балу быть ровно 100 человек?
Ответ: Нет, не могло. Потому что 99 не делится на 11 нацело.     

Тут два варианта решения:
Назову танцующих по первым буквам из условия:
Дама - это "д".
Кавалер "к".
Тут есть парадокс. Например, кавалер никогда не танцует по второму разу с одной и той же дамой. У него всё расписано и на какой танец он ангажирует даму, с той и танцует. Если другой кавалер приглашает даму, она должна извиниться перед ним и сказать, что на этот танец она уже ангажирована. 
1) Минимальное число танцующих при таком условии должно быть 7*4 = 28. Может ли их быть 99 дам и кавалеров на балу? Нет не может. Максимум 28*3 = 84 танцующих, 100 тоже не может быть.
Если же кавалер танцует лишь бы 7 дам было, и кто первый тот даму и танцует. Тогда 7 дам и 4 кавалера всего 11 к этому варианту отлично подходит, и танцующие меняются. По второму разу с одной и той же дамой можно, но танцев должно быть кратное 7. У него тоже всё расписано и на какой танец он ангажирует даму ставит галочку. Однако если другой кавалер приглашает даму, то наш кавалер идёт к другой даме, а к этой вернётся позже.
2) Минимальное число танцующих при таком условии должно быть 7 + 4 = 11. Может ли их быть 99 д и к на балу? Да. 99 делится на 11. Будет семью девять дам, то есть 7*9 = 63 дамы и девятью четыре кавалера, то есть 4*9 = 36. Сумма 63 + 36 = 99, что и требовалось. А 100 никак не может быть.
Мой ответ: если первый вариант, то не могло быть ни 99, ни 100. Если второй вариант, то могло быть 99 - это литера "а)", а 100 не могло быт ни при каких вариантах. 

Минимальное количество танцующих людей на балу - четыре дамы и семь кавалеров, то есть 28 человек. Добавляйте дальше сколько угодно других людей - детей обоего пола, слуг, музыкантов, которые не танцевали вовсе. Добавляйте их до такого общего количества людей на балу, сколько кому нужно.