На доске написан квадратный трёхчлен P(x) = ax^2 + bx + c.
Если из P(x) вычесть x^2, то получится многочлен, имеющий ровно один действительный корень;
Если из P(x) вычесть x, то получится многочлен, имеющий ровно один действительный корень;
Если из P(x) вычесть 1, то получится многочлен, имеющий ровно один действительный корень.
Найдите P(16).

Пусть квадратный трёхчлен имеет вид ax^2+bx+c = 0
Одно решение свидетельствует о том, что дискриминант, получающийся в новых уравнениях равен 0.
Тогда в первом случае: (a-1)x^2 + bx + c = n, D = b^2 - 4(a-1)c = 0.
Во втором случае: ax^2 + (b-1)x + c = m, D = (b-1)^2 - 4ac = 0.
В третьем случае: ax^2 + bx + c - 1 = p, D = b^2 - 4a(c-1) = 0.
Примечание: n, m, p - числа, которому становится равно уравнение после проделанных операций, записал их для того, чтобы выражение оставалось уравнением
Получаем систему из трёх уравнений:
b^2 - 4(a-1)c = 0
(b-1)^2 - 4ac = 0
b^2 - 4(c-1)a = 0
Решая данную систему выражением одной переменной и подстановкой получившегося выражения в следующее уравнение получаем: a = c = -0,125, b = 0,75
Тогда изначальный трёхчлен выглядит так: -0,125x^2 + 0,75x - 0,125.
Подставляя 16 вместо x в полученный квадратный трёхчлен, получаем: -0,125*16^2 + 0,75*16 - 0,125 = -20,125.
Надеюсь, что нигде не ошибся.