У одной супружеской пары было трое детей. Причём разница в возрасте между родителями была точно такой же, как разница возрастов между первым и вторым ребёнком, а также между вторым и третьим. Произведение возрастов первого и второго ребёнка равнялось возрасту отца, а произведение возрастов второго и третьего ребёнка равнялось возрасту матери. Сумма возрастов всех членов семьи равнялась 90 годам. Сколько же лет было отцу?

Пусть отцу x лет, матери y лет, а первому ребенку z лет.
Тогда второй ребенок на столько же младше первого, на сколько мама младше папы. Второму ребенку z - (x-y) лет.
Третий ребенок еще на столько же младше второго. Ему z - 2(x-y) лет.
Произведение возрастов 1 и 2 ребенка равнялось возрасту отца.
z(z - (x-y)) = x
Произведение возрастов 2 и 3 ребенка равнялось возрасту матери.
(z - (x-y))(z - 2(x-y)) = y
Сумма всех возрастов равняется 90 лет.
x + y + z + z - (x-y) + z - 2(x-y) = 90
Составляем систему и упрощаем
{ z^2 - xz + yz = x
{ z^2 - xz + yz - 2xz + 2yz + 2(x-y)^2 = y
{ 4y + 3z - 2x = 90
Можно 1 уравнение подставить во 2
x - 2xz + 2yz + 2(x-y)^2 = y
Перегруппируем
2yz - 2xz + 2(y-x)^2 = y - x
2z(y - x) + 2(y-x)^2 = y - x
Очевидное решение: y = x, то есть отец и мать равны по возрасту, разность y - x = 0, все 3 детей тоже равны, они близнецы.
Итак, матери = отцу = x лет, всем трем детям по z лет. Сумма возрастов
x + x + z + z + z = 90
2x + 3z = 90
Подставим y = x в 1 уравнение нашей системы
z^2 - xz + xz = x
z^2 = x
Подставим это в получаенное уравнение суммы возрастов
2z^2 + 3z - 90 = 0
D = 3^2 - 4*2*(-90) = 9 + 720 = 729 = 27^2
z1 = (-3 - 27)/4 < 0
z2 = (-3 + 27)/4 = 6
x = z^2 = 36
Проверяем: 36 + 36 + 6 + 6 + 6 = 90, все правильно.
Отцу 36 лет
                                                                              

а я решила так. Пусть отцу x лет, матери - y лет. Детям а, b, c лет соответственно. Получаем следующие соотношения: x-y=t, a-b=t, b-c=t, ab=x, bc=y. Тогда получим b=c+t, a=2t+c. Так же получим, что (t+c)(2t+c)=x, (t+c)c=y. или 2t^2+tc+2tc+c^2=x, tc+c^2=y. Вычтем из первого соотношения второе:2t^2+2tc=x-y.Так как x-y=t, то имеем 2t^2+2tc=t, или 2t^2+2tc-t=0. t(2t+2c-1)=0. Отсюда t=0 или 2t+2c-1=0. Или t+c=1/2. Из того что сумма возрастов всех членов семью равна 90, получаем следующее равенство: 2t^2+tc+2tc+c^2+tc+c^2+2t+c+t+c+c=90. Далее 2t^2+2c^2+4tc+3t+3c=90. 2(t^2+2tc+c^2)+3(t+c)=90, 2(t+c)^2+3(t+c)=90.Пусть t+c=n, получим n^2+3n-90=0. Решая это квадратное уравнение мы получим, что n=6, или n=-15/2. Второе не подходит по смыслу задачи. Следовательно n=6, или t+c=6. Но мы уже получили, что t+c=1/2. Так как получили противоречие, то получим t=0. Значит, нет разницы между возрастами родителей и между возрастами детей. Так как t=0, мы получаем, что с=6. А значит и a=6 и b=6. Дети у этой пары близнецы или тройняшки. Подставляя в (t+c)c=y, и зная, что t=0, мы получим, что y=6*6=36. Значит и отцу, и матери 36 лет.

Отцу X лет, маме Y лет, детям Z1, Z2, Z3 соответственно.
X-Y=Z1-Z2=Z2-Z3 (Z1=2*Z2-Z3)
Z1*Z2=X
Z2*Z3=Y
Y+X+Z1+Z2+Z3=90
Z1*Z2+Z2*Z3+Z1+Z2+Z3=90
Заменяем Z1
(2*Z2-Z3)*Z2+Z2*Z3+(2*Z2-Z3)+Z2+Z3=90
2Z2^2-Z2*Z3+Z2*Z3+2Z2-Z3+Z2+Z3=90
Сокращаем лишнее и приводим к виду квадратного уравнения
2Z2^2+3Z2-90=0
Находим дискриминант
3^2-4*2*(-90)=729
Находим корни уравнения
(-3+729^0.5)/(2*2)=6
(-3-729^0.5)/(2*2)=-7.5
Второй корень отбрасываем, так как возраст отрицательным быть не может.
второму ребенку 6 лет.
Заменем в уравнении (Z1=2*Z2-Z3) Z2 на 6
Z1+Z3=12
X+Y+6+12=90
X+Y=72
Далее из уравнений
Z1*Z2=X
Z2*Z3=Y
становится ясно, что папа старше в шесть раз чем первый ребенок, мама старше в шесть раз чем третий
Далее путем подставления возможных значений можно прийти к выводу, что дети одного возраста 6 лет. И родители одного возраста 36 лет

Возьмем за икс возраст отца, а возраст матери за игрек. Первому ребенку пусть будет N  лет Тогда второму ребенку исходя из условия задачи N - (x-y) лет. Третьему ребенку будет N - 2(x-y). Возраст 1 умножить на возраст 2 ребенка будет равно возрасту папы. N(N - (x-y)) = x Возрастов 2 умножить на возраст 3 ребенка = возрасту мамы. (N - (x-y))(N - 2(x-y)) = y Если сложить все возрасты, то в сумме получится 90 лет. x + y + N + N - (x-y) + N - 2(x-y) = 90 Составив и решив систему отсюда получаем что y = x, то есть папа и мама ровесники. Все дети тоже одинакового возраста. Проверяем: 36 + 36 + 6 + 6 + 6 = 90. То есть у них была тройня, и каждому ребенку по 6 лет. Итого 90 лет возраст всей семьи.

Пускай первому ребенку будет Х лет. Разница в возрасте между первым и вторым - Y лет. Тогда:
второй ребенок - Х+Y
третий ребенок - X+2Y
отец - Х*(Х+Y)=Х^2+XY
мать - (X+Y)*(X+2Y)=X^2+3XY+2Y^2
все вместе - X+X+Y+X+2Y+Х^2+XY+X^2+3XY+2Y^2=3Х+3Y+2X^2+4XY+2Y^2=90 (1-е уравнение)
мать-отец - (X^2+3XY+2Y^2)-(Х^2+XY)=Y
2XY+2Y^2=Y (2-е уравнение)
Так как X и Y являются неотрицательными числами единственно возможный вариант решения второго уравнения это значение Y=0.
Подставляем его в первое уравнение и получаем: 3Х+2Х^2=90.
Далее решаем квадратное уравнение:
2Х^2+3X-90=0 через дискриминант, который равен 9+720=729
единственный корень - ((-3+27)/4)=6.
Ответ: детям по 6 лет, отцу и матери по 36 лет.

Ответ: детям по 6 лет, отцу и матери по 36 лет. А теперь давайте разберемся как мы это получили, для этого составим небольшое уравнения, но перед этим введем переменные.
Возраст первого ребенка - x
Разница в возрасте между первым и вторым - y
Далее получаем, что возраст второго ребенка будет = x+y, третьего = x+2*y. Возраст отца = x*(x+y)=x^2+x*y. Возраст матери = (x+y)*(x+2*y)=x^2+3*x*y+2*y^2. Возраст всех вместе = 3*x+3*y+2*x^2+x*y+3*x*y+2*y^2=3*x+3*y+2*x^2+2*y^2=90. Мать - отец = 2*x*y+2*y^2=y. Далее получаем, что y=0, следовательно подставляем ноль в возраст всех вместе, решаем квадратное уравнение и получаем ответ 6.