Войдя первым в кабинет математики, Константин написал на доске в столбик (друг под другом) четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d (именно в таком порядке сверху вниз), а их сумму записал в тетрадь. После этого в класс зашел Данир, стер верхнее число, написанное Костантином, и вместо него написал вдвое большее число. Найдя сумму четырех написанных на доске чисел, он также записал результат в тетрадь. Лиана, зайдя в класс третьей, стерла второе сверху число, и записав вместо него втрое большее число, посчитала сумму всех чисел и результат перенесла в тетрадь. Гульминаз, в свою очередь, стерла третье сверху число, записала вместо него в 4 раза большее, нашла сумму чисел на доске и написала в тетрадь. И наконец, когда в кабинет зашла староста класса Амина, она стерла самое нижнее число на доске, увеличила его в 5 раз, записала его на доске, а сумму четырех чисел на доске также перенесла в тетрадь. После этого, сложив все пять сумм, которые были написаны в тетради, ребята получили число 275.
Найдите наибольшее возможное значение выражения:
(a · d) : (b · c)
Пояснение : произведение чисел a и d, деленное на произведение чисел b и c

Давайте по порядку:
Константин записал себе сумму S1 = (a + b + c + d)
Данир записал себе сумму S2 = (2a + b + c + d)
Лиана записала себе сумму S3 = (2a + 3b + c + d)
Гульминаз записала себе сумму S4 = (2a + 3b + 4c + d)
Амина записала себе сумму S5 = (2a + 3b + 4c + 5d)
Сложим все пять сумм: S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5
S = 9a + 11b + 11c + 9d = 275
Сгруппируем
9(a + d) + 11(b+c) = 275
Пусть (a+d) = x; (b+c) = y
Имеем  Диафантово уравнение 9x + 11y = 275
Общим решением будет: х = 1375 + 11k; y = -1100 - 9k, где k - целое
Но так как a, b, c, d - натуральные, то х и y - натуральные, то есть > 0
{1375 + 11k > 0;. {k > -125
{ -1100 -9k > 0;... { k < -122,3
Таким образом удовлетворяют два решения
1) k = -123: x = 22, y = 7
2) k = -124: x = 11, y = 16
Искомое выражение будет наибольшим, когда (a•d) будет наибольшим, а (b•c) - наименьшим.
Рассмотрим случай "1)"
a + d = 22; b + c = 7
Тогда d = 22-a; c = 7-b
и (a•d) = а•(22-a) = -a² + 22a - это парабола ветвями вниз и максимум будет в вершине: a = 22/2 = 11 и d = 11.
Но по условию a ≠ d, тогда отодвигаемся на единицу: например a = 10 и d = 12; a•d = 120 
(b•c) = b•(7-b) = -b² + 7b - это парабола ветвями вниз и минимум будет на границах ветвей, то есть при b = 1 или b = 6, тогда с = 6 или с = 1 и b•c = 6
(a•d) : (b•c) = 120 : 6 = 20
Аналогично случай "2)" 
a + d = 11 и b + c = 16
Получим максимум a•d = 5•6 = 30 и минимум b•c = 1•15 = 15
(a•d) : (b•c) = 30 : 15 = 2
Из двух случаев максимум будет 20
Ответ: 20
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Если числа попарно различны, то это значит, что
a≠b и b≠c и c≠d, т.е. возможны равенства a=d ;a=c и т. д.
Запишем в общем виде суммы, которые получились у ребят.
Сумма у Константна S₁ = a + b + c + d
У Данира получилась сумма S₂ =2a + b + c + d
У Лианы была записана сумма S₃ = 2a + 3b + c + d
Гульминаз записала в тетради S₄ = 2a + 3b + 4c + d
У Амины получилось выражение S₅ = (2a + 3b + 4c + 5d)
Сложив все пять сумм, которые были написаны в тетради, ребята получили выражение:
S=S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅ = a+b+c+d+2a+b+c+d+2a+3b+c+d+2a+3b+4c+d+2a+3b+4c+5d
S=9a + 11b + 11c + 9d = 275
Чтобы получилось наибольшее возможное значение выражения (a · d) : (b · c), необходимо, чтобы a и d имели наибольшее значение, а b и с наименьшее, простым подбором получаем, что
a=11;b=1; c=6;d=11;(a · d) : (b · c) =(11*11):(1*6)=121/6=20.16(6)
Проверяем по числам в тетради учеников:
S₁=11+1+6+11=29
S₂=2*11+1+6+11=40
S₃=2*11+3*1+6+11=42
S₄=2*11+3*1+4*6+11=60
S₅=2*11+3*1+4*6+5*11=104
S=29+40+42+60+104=275
Ответ:20.1666...  наибольшее значение выражения (a · d) : (b · c)