Дана равнобедренная трапеция АВСD с основаниями AD и ВС. Окружность с центром О, построенная на боковой стороне АВ как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке L, точка М – середина CD.
а) Докажите, что четырехугольник DLOM - параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD=60° и BC=3.

а) Поскольку точка О - середина стороны АВ (ну а где ж ещё располагаться центру окружности,Ю как не в середине диаметра...), то ОМ есть средняя линия трапеции, и поэтому она параллельна основанию AD.
Идём дальше. Треугольник AOL, очевидно, равнобедренный, потому как и ОА, и OL - радиусы одной и той же окружности. И, значит, ∠OLA = ∠OAL. Но и ∠MDA = ∠OAL, поскольку трапеция, по условию, равнобедренная. Значит, ∠MDA = ∠OLA, откуда следует параллельность MD и OL. То есть у нас противоположные стороны DLOM попарно параллельны, поэтому оный четырёхугольник - параллелограмм.
б) Проведём из точки В прямую, параллельную CD. Поскольку угол при основании трапеции равен, по счастью, 60 градусам, то эта прямая пересечёт окружность аккурат там же, где её пересекает и средняя линия трапеции ОМ (потому что ОВ есть радиус окружности, а ∠ВОМ тоже равен 60°). Значит, средняя линия трапеции аккурат на 3 см больше радиуса окружности. А нижнее основание равно двум радиусам плюс вот эти три см. С другой стороны, средняя линия есть полусумма оснований. Итого у нас получается два уравнения на два неизвестных - нижнее основание и радиус.
б) Продолжим обе боковые стороны "вверх". Они пересекутся в некоторой точке Р. Поскольку трапеция равносторонняя и угол при основании равен 60°, то треугольник APD - тоже равносторонний. И его высота равна радиусу окружности. Стало быть, сторона этого равностороннего треугольника в корень из 3 пополам раз превышает его высоту. Но эта высота и есть радиус окружности, потому что CD, по условию, - касательная к окружности. А треугольник ВРС тоже равносторонний. Как и треугольник ОРМ. Значит, радиус окружности на 3 см меньше ОМ. Вот из того, что ОМ = ОВ*√3/2 и ОМ = ОВ+3, враз находится и радиус окружности ОВ, и ОМ. Ну а нижнее основание AD = AL + LD = OB + OM.