Прямая, параллельная катету AC прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет BC в точке K, а гипотенузу AB — в точке N. На катете AC выбрана точка M так, что MK=MN. Найдите отношение AM/MC, если BK/BC=1/4.

Построим треугольник АВС с необходимыми построениями.
Сначала рассмотрим треугольники АВС и NBK , они подобны, значит отношения ВК/ВС=BK/AC, то есть NK d 4 раза меньше, чем АС. Треугольник MNK равнобедренный, поэтому МЕ делит NK пополам, то есть МС в 2 раза меньше NK и в 8 раз меньше АС. Ответ: AM/MC=8.
                                                                              

Рисунок:
Проведём высоту МН. Треугольник КМN - равнобедренный, значит, МН - медиана. Получаем прямоугольник СМНК, поэтому СМ=КН=НN=у обозначим общей буквой. Обозначим KB буквой x, тогда
CK=CB−KB=4x−x=3x
Треугольники АВС и ВNК подобны по двум углам - общий и прямоугольный. Значит, АС/СВ=NК/КВ. Подставляем переменные: АС/4х=2у/х, АС=8у.
Тогда АМ/МС=(8у-у)/у=7.
Ответ: АМ/МС=7.