Как это решить В геометрической прогрессии сумма крайних членов равна -49.... Как решить?.

Обозначу все члены по первым буквам: (п)ервый, (в)торой, (т)ретий, (ч)етвёртый. Составлю уравнения:
1) п + ч = -49.
1) п + п*g^(4-1) = -49.
1) п + п*g^3 = -49.
2) в + т = 14.
2) п*g^(2-1) + п*g^(3-1) = 14.
2) п*g + п*g^2 = 14.
2) п = 14/(g + g^2) Подставлю "п" в первое уравнение:
1) п + п*g^3 = -49.
1) 14/(g + g^2) + 14*g^3/(g + g^2) = -49. Избавлюсь от дроби: (g + g^2):
1) 14 + 14*g^3 + 49*(g + g^2) = 0.
g = -2. проверю:
1) 14 - 14*8 + 49*(-2 + 4) = 0.
1) 14 - 112 + 49*2 = 0.
1) - 98 + 98 = 0. 0 = 0 Сходится.
Подставлю g в 1-е уравнение:
1) п + п*g^3 = -49.
1) п + п*(-2)^3 = -49.
1) п + п*(-8) = -49.
1) п(-7) = -49. п = 49/7 = 7.
Пишу все 4 члена прогрессии:
1) 7*(-2)^0 = 7.
2) 7*(-2)^1 = -14.
3) 7*(-2)^2 = 28.
4) 7*(-2)^3 = -56.
Проверка:
Сумма крайних членов 1-го и 4-го равна -49:
7 -56 = -49.
-49 = -49. Сходится.
Средние числа - это 2-е и 3-е. Их сумма равна 14.
(-14) + 28 = 14.
14 = 14. Сходится.
Все проверка завершились успешно!
Мой ответ: Все числа я нашла и проверила. Крайние это 7 и -56. А средние это -14 и 28.
                                                                              

Один вариант решения виден сразу невооружённым глазом: 7, -14, 28, -56. То есть геометрическая прогрессия с первым членом 7 и знаменателем -2 (находится в уме за несколько секунд). Но тут, наверное, надо как-то обосновать и заодно доказать, что решение единственное, или же найти все возможные решения, если оно не единственное.
Ну дык вот:
Раз это геометрическая прогрессия, то числа можно представить как x, qx, q²x, q³x. И тогда получаем
x + q³x = -49
qx + q²x = 14
Перепишем это в таком виде:
x(1 + q³) = -49
qx(1 + q) = 14
В первом уравнении есть сумма кубов, которую можно представить в виде произведения:
x(1 + q)(1 - q + q²) = -49
Из второго уравнения x(1 + q) = 14/q, то есть в итоге можно написать
14/q (1 - q + q²) = -49, или 1 - q + q² = -3,5q.
Это обычное квадратное уравнение относительно q, которое уже не штука решить, особенно если его переписать в нормальном виде:
q² + 2,5q + 1 = 0.
Видно, что q=-2 этому уравнению удовлетворяет, откуда предложенная в самом начале последовательность враз вытекает. Второй корень можно найти по теореме Виета - получится -1/2. Как нетрудно убедиться, это приводит нас к той же самой последовательности, просто написанной в обратном порядке: -56, 28, -14, 7.