Вопрос такого характера. В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 𝐴𝐷 = 4, 𝐷𝐶 = 8, 𝐴𝐴1 = 10, 𝑀 −середина 𝐵1𝐶1. Найдите:
а) Расстояние от точки 𝑀 до прямой 𝐷𝐶;
б) Расстояние от прямой 𝐵𝐵1 до плоскости 𝐴𝐴1𝐶;
в) Расстояние между прямыми 𝑀𝐶 и 𝐴1𝐷1;
г) Угол между прямой 𝑀𝐴 и плоскостью (𝐴𝐴1𝐵1);
д) Угол между плоскостью (𝑀𝐴1𝐴) и плоскостью (𝐴𝐷𝐷1);

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/44xrGlA).

а) Расстояние от точки М до прямой ДС есть отрезок МС = ВС/2 = 4/2 = 2 см.
б) Расстояние от прямой ВВ1 до плоскости АА1С.

Определим площадь треугольника А1В1С1. S = A1B1 * B1C1/2 = 8 * 4/2 = 16 см^2.

A1C1^2 = A1B1^2 + B1C1^2 = 64 + 16 = 80.

A1C1 = √80 = 4 * √5 см.

Sa1b1c1 = A1C1 * B1O/2;

B1O = 2 * 16/4 * √5 = 8/√5 cм.
в) Расстояние между прямыми МС и А1Д1 есть сторона СД = 8 см.;
г) Угол между прямой МА и плоскостью (АА1В1) есть линейный угол ВАМ
В прямоугольном треугольнике АВМ, АВ = 8 см, ВМ = 2 см.

tgBAM = MB/AB = 1/4.

Угол ВАМ = arctg(1/4) = 14.

д) Угол между плоскостью (MA1A) и плоскостью (АДД1) есть линейный угол МАД.

Угол МАД = 90 – ВАМ = 90 – 14 = 76.