Как это решить Почему интегралы берут, а не решают?.

Слово "решить" - относится не обязательно к конкретному арифметическому примеру. Решить можно любую математическую задачу. Наверное, поскольку решить задачу с интегралом бывает довольно сложно, то используют термин, который применяют при военных действиях, как например "взять крепость". Ведь крепости - берут. Наверное, и с интегралом так, - "взять интеграл" как "взять крепость".
Кстати и производные тоже берут ("взять производную").
                                                                              

Решить можно конкретный арифметический пример, а решением на интеграл является функция, значение которой меняется в зависимости от аргумента.

Перед нами  функция, интеграл которой надо ВЗЯТЬ. Впрочем, его можно также РЕШИТЬ, ВЫЧИСЛИТЬ, ОПРЕДЕЛИТЬ, НАЙТИ (все эти термины встречаются в учебниках).  Фактически мы НАХОДИМ ту первообразную функцию, при дифференцировании которой получится функция, стоящая под знаком интеграла. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что он решен – мы БЕРЕМ его из таблицы. Если  нет, то основной задачей становиться сведение его к табличному виду.
В геометрическом виде интеграл представляет собой площадь фигуры, соотнесенной с подынтегральной функцией. История  интеграла  связана с задачами нахождения квадратур  - так  математики Древней Грециии Рима называли задачи на вычисление площадей.
Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Оно происходит от латинского integro -  приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Употребляющееся сейчас название  «первообразная функция» заменило более раннее «примитивная (начальная) функция», введенное Лагранжем в 1797 году.