Главное меню

Найдите наименьшее натуральное x, 10m+3n делится на 17, также 13m+x×n?

Автор Rausbl, Март 15, 2024, 12:37

« назад - далее »

Rausbl

Найдите наименьшее натуральное x, при котором из того, что 10m+3n делится на 17, следует, что 13m+x×n также делится на 17 (m и n – натуральные).

Flinrly

Выражения 10m+3n и 13m+x×n  всегда будут кратны 17 если m и n кратны 17
при значениях
m=17
n=17
получим
10m+3n=10*17+3*17=13�*17
выражение 13m+x×n примет вид
13*17+x*17, где х любое натуральное число
Наименьшее натуральное число 1
Ответ x=1
                                                                              

Tin

Так как значения представленных выражений кратны 17, мы можем записать их так:
10*m+3*n=17*а; 13*m+x*n=17*b.
Если каждое из них умножить на целое число, то полученные произведения останутся кратными 17: Умножим первое выражение на 13, а второе на 10:
130*m+39*n=17*13*а; 130*m+10*x*n=17*10*b�.
Разность двух чисел, кратных 17 тоже будет кратна 17.
Вычтем из второго выражения первое и проведём очевидные преобразования:
10*x*n-39*n=17*10*b-�17*13*а;
(10*x-39)*n=17*(10*b�-13*а);
Итак, левая часть этого выражения, т.е. (10*x-39)*n кратна 17. Тривиальный случай, когда n кратно 17, и тогда х может принимать любые значения, из которых наименьшее натуральное равно 1, рассмотрен отвечающим vdtest.
В более же общем случае, когда n любое натуральное число, не кратное 17, то 17 должно быть кратно выражение 10*x-39.
Наименьшее натуральное число, при котором 10*x-39 кратно 17, равно 9, а значение выражения равно 51.
Итак, х=1 (тривиальный случай, когда n и m кратны 17),
и x=9 (при любых значениях n и m, не кратных 17).