Взяли некий тетраэдр ABCD. Он может быть какой угодно формы, это вы сами подбираете.
И мне кажется, что для правильного ответа нужно взять именно определенную форму тетраэдра, только я не знаю, какую.
Может быть, с маленьким основанием и большой высотой, а может, наоборот, с маленькой высотой.
Требуется найти внутри тетраэдра (не на поверхности, а именно внутри!) такую точку О, чтобы сумма расстояний AO + BO + CO была БОЛЬШЕ, чем сумма AD + BD + CD.
Иначе говоря, сумма длин ребер у тетраэдра ABCO должна быть больше, чем у тетраэдра ABCD.
Как это решить?

Задача эта действительно имеет решение, вот только вывести общую формулы мне к сожалению не по силам, хотя в частном случае я могу объяснить, такое может получиться. Для примера возьмем выпуклый тетраэдр у которого ребро АD больше суммы ребер ВD и СD. Пусть у нас ребро АD=5, а ребра ВD=СD=1, это поможет при рассуждении. Для простоты можно взять АС=АВ=5. Построим внутри него тетраэдр АВСО, с тем условием, что высота опущенная из точки О на любую из граней АС или АВ разбивает их на неравные отрезки точкой К, причем АК=1, КС=4. Это для видимой стороны, для невидимой тоже самое рассуждение. Тогда мы имеем, что АО будет гипотенузой треугольника АОК и следовательно больше 1, а ОС - гипотенуза треугольника КОС и больше 4. В тетраэдре АВСD сумма граней равна 7, а в тетраэдре АВСО получается больше 9.
Конечно, это частный случай, но принцип построения ясен.
                                                                              

Задача легко решается при определенных условиях. Для этого должно выполняться:
AC + BC > AB + CD',где D' - проекция точки D на отрезок AB.
Сначала рассмотрим, как бы, приплюснутый на плоскости тетраэдр (треугольник). Пусть это будет равнобедренный треугольник, образованный из 2 прямоугольных египетских (с целочисленными сторонами) треугольников со сторонами 5, 12, 13.
Представим, что ось симметрии по стороне 12, тогда мы получим:
AB = 10, AC = 13, BC = 13, CD' = 12 (прошу прощения, что не нарисовал всю картинку для наглядности.)
Теперь над точкой D' восстановим перпендикуляр к плоскости ABC, и на очень небольшом расстоянии (u ) поставим точку D. Возьмём точку O внутри образованного тетраэдра в ε-окрестности точки С. Получаем:
AO + BO + CO > (13 - ε) + (13 - ε) + ε = 26 - ε
AD + BD + CD < (5 + u ) + (5 + u ) + (12 + u ) = 22 + 3*u
Поскольку всегда можно подобрать такие малые u  и ε, что 3* u + ε < 4, то из этого следует, что мы построили такой тетраэдр и нашли точку O, что:
AO + BO + CO > AD + BD + CD
P.S. Я не художник, но попытался проиллюстрировать ход мыслей. Вид сверху. Расстояния D-D' = u и C-O = ε - очень маленькие.

Предлагаю в общем виде вариант решения задачи. На рисунке изображен тетраэдр (треугольная пирамида), где АВС - основание, D - вершина. Предположим, сумма боковых ребер тетраэдра равна сумме двух ребер основания (DА + DВ + DС = АС + АВ). Если точку О совместить с точкой А, будем иметь особое положение, при котором соблюдается равенство суммы боковых ребер пирамид  DАВС и ОАВС (вырожденный тетраэдр). В случае DА + DВ + DС < АС + АВ точку О можно разместить внутри тетраэдра и получить DА + DВ + DС < ОА + ОВ +ОС. Следовательно, условие задачи выполняется только тогда, когда сумма боковых ребер тетраэдра меньше суммы каких либо двух ребер основания.