19 марта планируется взять кредит в банке на сумму 900 тыс.рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 18-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 19-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 19-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что сумма выплат составит 1,035 млн рублей.

Пусть d тыс.руб. - величина, на которую должен каждый месяц снижаться долг. И пусть n - количество месяцев, на которое взят кредит. Обозначим через а(k) размер остающегося долга в конце k-го месяца. Тогда:
а(0) = 900 тыс.руб.,
а(k)-a(k-1) = -d тыс.руб,
a(n) = 0,
d = 900/n тыс.руб.
То есть а(0), а(1), ... a(n) - убывающая арифметическая прогрессия с разностью -d = -900/n тыс.руб. По условию задачи долг в начале месяца возрастает на 5 %, значит, размер платежа при k >= 1 определяется по формуле
a(k-1)*1,05-a(k) = (a(k-1)-a(k))+0,05*a(k-1) = 900/n+0,05*a(k-1).
Сумму n платежей:
n*900/n+0,05*(a(0)+a(1)+a(2)+...+a(n-1))
с использованием формулы суммы арифметической прогрессии можно записать в виде
900+0,05*(2*a(0)-d*(n-1))*n/2 = 900+0,05*(900+0)*n/2 =
= 922,5+22,5n.
По условию задачи
922,5+22,5n = 1035, откуда
n = (1035-922,5)/22,5 = 112,5/22,5 = 5.
Ответ: 5 месяцев.