В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Угол ОСD равен углу BCD.
Угол OAB равен углу DAB.
Углы ВСД и DAB вписаны в данную окружность и опираются на одну и ту же дугу BD, не содержащую точек А и С. Следовательно, углы ВСД и DAB равны половине величины этой дуги и равны друг другу.
И значит, угол OAB равен углу ОСD, то есть 30°.
Ответ: 30°. 
                                                                              

Опора на дугу окружности тут не при чем.
Задача решается намного проще.
Задача решается доказательством подобия (или равенства между собой) треугольников АОВ и СОД.
Мы можем утверждать, что если имеем два диаметра, то пересекаясь в центре, они дают нам равные отрезки радиусов окружности:
АО
ОВ
СО
ОД
Следовательно, у нас два равнобедренных треугольника с попарно равными сторонами.
Тогда отрезки АВ и СД - тоже равны (исходя из свойств треугольника)
На этом основании мы можем сказать, что треугольники не просто подобные - они равные.
А раз так, то и углы у них равные. Два угла по 30 градусов. и один с вершиной в точке О - 120 градусов.
(кому не ясно почему, напоминаю: сумма углов в любом треугольнике 180 градусов. 180 - 30 - 30 = 120)
Искомый угол ОАВ будет равен углу ОСД.
Его величина - 30 градусов.

Значение угла указывать не нужно, поэтому только алгоритм решения задачи. Нужно внимательно рассмотреть чертеж и найти в нем два треугольника. Если использовать свойства окружности и треугольников, то можно определить характеристики треугольников, сравнить их. А характеристики позволят найти величину указанного угла, тем более, величина указана в вопросе. Но нужно подробно сформулировать алгоритм решения, в ответе даны некоторые шаги алгоритма. Доброго пути к знаниям!

Часто случается, что задача намного легче, чем кажется на первый взгляд и учащемуся просто нужно применить знания, полученные на уроке и проявить смекалку или наблюдательность.
В данном случае все просто надо знать немного основы геометрии - на графике мы видим вписанные углы, что упираются на одну и ту же дугу. Отсюда делаем и выводы - если углы равны, то соответственно и угол будет одинаковый - то есть, угол ∠DСВ = ∠DАВ,  а это значит  - ответ тридцать градусов.

Диаметры проходят естественно через центр окружности ,а в пересечении образуют равные парные углы,добавим к зтому ,что стороны этих углов являются одинаковыми радиусами - имеем в наличии одинаковые треугольники против друг друга и соответственно искомый угол будет 30°.
Ответ: угол ОАВ равен 30°.

Углы ВАD и ВСD - вписанные, и опираются на одну и ту же дугу BD. Значит углы ВСD и BAD равны  между собой. Очевидно, что угол ОСD тот же самый, что и угол ВСD, т.е. 30°. Аналогично и угол ОАВ - тот же самый, что и угол ВАD, значит он тоже равен 30 °С.

Решение этой задачи несложное, если рассмотреть графическое построение. Анализируя графическое построение, вписанные диаметры в окружность, можно заметить что они равны между собой AD = BC, а сами треугольники OCD  и ОАВ подобны, углы А и В в треугольнике ОАВ имеет одно и то же значение - 30 градусов, также как и углы С и D в треугольнике OCD, следовательно величина угла ОАВ будет равна 30 градусов.