Радиоуправляемая игрушка может двигаться или прямо или поворачиваться на 17° против часовой стрелки.Вначале она насколько- то передвинулась прямо.Каково наименьшее количество команд для возвращение игрушки в первоначальную точку и первоначальное положение ?

Движением игрушки можно построить правильный многоугольник с углом, равным (180-17) = 163 градуса и со сторонами, равными тому расстоянию, которое проехала машинка. Количество сторон такого многоугольника определяется из уравнения:
163х=(х-2)*180
163х = 180х - 360
17х = 360
х = 21 (примерно).
Имеем правильный 21 угольник. Тогда количество команд равно 21 * 2 - 1 = 41 (одну сторону машинка уже проехала). Но положение игрушки в конце все-таки будет не совсем точным.
Второй вариант - фигура с минимумом сторон, треугольник. Если пространство, на котором может двигаться игрушка, достаточно велико, а рассчитывать дальность ее движения можно достаточно точно, то можно отдать, например, следующие команды:
десять раз подряд отдать команду "повернуться на 17 градусов" - игрушка повернется на 170 градусов;отдать команду "движение вперед";длительность движения рассчитать заранее, в зависимости от расстояния, которое игрушка уже проехала;еще 10 раз подать команду "повернуться" - еще 170 градусов;опять команда "движение вперед";когда машинка достигла нужной точки - еще раз повернуть ее на 17 градусов.Итого 23 команды. Но погрешность в положении машинки все равно будет, так как 360 не делится на 17 без остатка.
Если же нужно, чтобы машинка заняла первоначальное положение абсолютно точно, то нужно найти количество раз, которое должна будет повернуться машинка. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное чисел 17 и 360. 17 - это простое число, т. е. машинка должна будет повернуться именно 360 раз, чтобы оказаться в прежнем положении. Плюс две команды на движение - итого 362 команды.
                                                                              

Достаточно 13 команд — 11 поворотов + 2 движения.
В первой точке поворот на 170° — 10 команд;
Движение во вторую точку — 1 команда;
Поворот на 17° — 1 команда;
Возврат в исходную точку под углом в 7° — последняя команда.