Как доказать, что у любой пятиугольной звезды сумма острых углов равна 180 градусов?
Я слышал, что надо как-то преобразовать звезду, чтобы превратить ее в треугольник, а сумма углов треугольника равна 180.
Для примера на рисунке показана произвольная звезда, и какие углы надо складывать.

a + b + c + d + e = X
A + B + C + D + E = 3π
Каждая вершина пятиугольника определяет треугольник, типа окрашенного.
Складываем суммы углов пяти треугольников. Получаем  2Х + 3π = 5π.
Откуда Х =  π.
                                                                              

Рассмотрим любой пятиугольник АВСDЕ и соответствующую ему любую пятиконечную звезду A1B1C1D1E1.
 (желтым цветом). По теореме о сумме внутренних углов многоугольника (180*(n-2) n - число сторон многоугольника)сумма углов пятиугольника АВСDЕ равна 540 градусов.
"Превратим" звезду в треугольник, добавив синий треугольник В1ЕС1. Угол АЕD равен углу В1ЕС1 (как вертикальные углы) и равен (180-(a+d)) градусам. Теперь рассмотрим большой треугольник С1Е1В1, сумма его внутренних углов равна е+c+b+C1EB1 или e+c+b+a+d. Вот и доказали, что e+c+b+a+d = 180 градусам.

Ну все верно, обозначим вершины  АВСДЕ и
 внутренние А1В1С1Д1Е1, тогда получим 3 треугольника АСД1 +ЕВС1+АВ1Д это 180+180+180, но в этой системе есть 3 внутренних угла Д1В1С1 и угол А учитывается 2 раза, соответственно из них получился четырехугольник АВ1С1Д1, сумму углов которого надо вычесть из наших треугольников, сумма углов 4-уголиника = 360 , тогда получим 180+180+180-360=180, что и требовалось доказать!