Света и Вера обшивают бархатки бисером. Они взялись за это дело впервые. Но каждый день Света обшивает на одну бархатку больше. А Вера более быстрее обучается и каждый день обшивает на две бархатки больше.
У девушек одинаковый заказ. Им нужно обшить ровно по 185 бархаток каждой. Но дело в том, что Вера начала свою работу на несколько дней позже.
1) Смогут ли они закончить работу в один и тот же день? Сколько дней им потребуется для этого каждой?
Работодателю понравилось, как работают девушки, и он им дал больший объём работ. На сей раз Вере 400 бархоток, а Свете, медленной работнице 300 бархоток и сказал, что заплатит больше если они уложатся в срок.
Девушки уже руку набили. И начали обшивать с такой же скоростью, как в последний раз. Но теперь Света каждый день обшивает на две бархатки больше. А Вера более быстрее обучается и каждый день обшивает на 3 бархатки больше.
2) Смогут ли они закончить работу в один и тот же день? Сколько дней им потребуется для этого каждой? 
Есть решения у этих двух заданий девушкам? Или из-за ошибок в условии это невозможно?Хотелось бы увидеть полноту рассуждений в решении. И если есть подвох в задаче. В чём он заключается?

Безусловно здесь арифметическая прогрессия Дискриминант равен 1. Если начать с 1 то ближнее число будет:
185/5 = 37. 37 пополам будет 18 и 1 в остатке.
Света начала с 10 бархоток в день. При дискриминанте 12 получится 78.
10*11 = 110.
110 + 78 = 186.
А на 12 день Света сделала: 186 бархоток. Но вместо 21 сделала на одну меньше. Работа выполнена. Скорость 20 бархоток в день.
Итого Свете потребовалось 12 дней.
Проверка:
10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 20 = 185.
Вера начала работу на 2 дня позже. 12 - 2 = 10 дней.
И начала также с 10 бархоток:
9*10 = 90. За 10 дней при дискриминанте 2 она сделает 100.
100 + 90 = 190. На 5 больше. Значит в последний день она сделает на 5 меньше.
Проверка:
10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 22 + 22 + 24 + 26 + 21 = 185.
Скорость Веры 26 бархоток в день.
Автор переставил местами работниц. Но меня это не пугает:
По-прежнему веду подсчёт со Светы. Она делает по 20 бархоток в день. Чисел не так уж и много. Я напишу без формулы так наглядней:
20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 10 = 300 бархоток. 
На 11=й день Света выполнила план схалтурив на 10 бархоток вместо 40. А что же Вера? Сколько она сделает за 11 дней? Подсчёт:
26 + 29 + 32 + 35 + 38 + 41 + 44 + 47 + 50 + 53 + 5 = 400 бархоток.
На 11=й день Вера выполнила план схалтурив на 5 бархоток вместо 58.
Девушки устали, пахали без выходных. Потом вечером сдали всю работу вдвоём работодателю. Все довольные остались.
Резюме: По первому заданию девушки окончили в один и тот же день, но Вера начала на 2 дня позже и догнала Свету на 10-й день. А Света сделала работу за 12 дней.
По второму заданию Обе девушки начали одновременно и закончили работу на 11-й день.
Подвох этой задачи заключается в том, как я поняла, что девушки в последний день сделают на много меньше, чем в предыдущий. Им главное сделать то количество, сколько им дали в  задании.
                                                                              

Столько ответов, и у всех числа "скачут": 10, 12, 5 -- это разные числа. А в одном из ответов и вовсе указывается на подмену работниц, хотя я и не заметил. Так что попробую ещё разок пересчитать. Инструменты те же -- сумма арифметической прогресии и квадратные уравнения. Мои наброски не будут полностью корректными, т.к. я собираюсь просто оперировать вещественными числами на калькуляторе, без стремления к целочисленности [промежуточных] оценок количества дней.
Итак, начнём с первой работницы. В задаче неизвестно, сколько изделий было изготовлено/обработа�но в первый день, и я этот вопрос просто проигнорирую, положив это количество равным одному изделию. Если в задаче и есть серьёзный подвох, то он, возможно, находится именно в этом свободном параметре. После фиксации результатов первого дня, можно сказать, что продукция первой работницы на первой фазе будет описываться суммой sum(i, 1<=i<=n) = 185, где sum означает сумму по первому аргументу (до запятой) в круглых скобках по индексу, обозначенному --- вместе с областью допустимых значений --- во втором аргументе. Если понятно, по какому индексу и каким его значениям идёт суммирование, то второй аргумент будет далее игнорироваться.
Известно, что 2sum(i, 1<=i<=n)=nn+n, причём, n можно интерпретировать как количество слагаемых в этой сумме. Т.к. sum(i)=185, то формула суммы даёт уравнение nn+n = 2*185 => nn+n-370 = 0. При решении квадратных уравнений, все мнимые и отрицательные корни я буду игнорировать (хотя, отрицательным и можно было бы придать вполне конкретный смысл). Решаем: n = (-1 pm sqrt(1+4*370))/2 = (-1 pm sqrt(1481))/2 ~ (-1 pm 38,5)/2 ~ 18,75, где символ pm означает значёк плюс/минус и (при нормальных обстоятельствах) порождает множество, в которое добавляются и результат сложения и результат вычитания (если они различаются).
Видите, какую глупость я творю? Я просто решаю уравнение в вещественной арифметике, не стремясь к выбору исключительно целых значений. Но вдруг из этого что-нибудь да и получится?
Теперь приступим ко второй работнице. Опять есть неопределённость в выходе продукта в первый день и я вынужден --- без особых оснований --- положить этот выход равным таковому первой работницы, т.е. одному изделию. Т.к. втрая работница, по условию, каждый день увеличивает количество изделий на два по сравнению с предыдущим днём, то количество изделий в день i задаётся системой уравнений c(1)=1 и c(i+1)=c(i)+2, замкнутое решение которой выглядит как c(i) = 2(i-1)+1.
Дальше, по аналогии с первых случаем, придётся возиться с суммой sum(c(i), 1<=i<=m) = 185. Преобразуем её для получения квадратного уравнения:
sum(2(i-1)+1) = sum(2*i)-sum(2)+sum(1) =
= 2sum(i)-2m+m =
= mm+m-2m+m = mm = 185.
Полученное уравнение mm = 185 имеет решение m = sqrt(185) ~ 13,6.
Т.о., срок "опоздания" второй работницы равен n-m=18,75-13,6=5,15.
Как видно, в первой фазе всё хорошо и работницы действительно смогут завершить всё в один день: у первой на выполнение заказа уйдёт 18,75 дней, у второй -- всего 13,6 дней, если она приступит к выполнению на 5,15 дней позже первой работницы. Кроме неизвестного выхода продукта в первый день и данных, не дающих целочисленных корней, других подвохов на этом этапе я не обнаружил. Хотя сам, конечно, мог где-нибудь сильно напутать с арифметикой.
Осталась вторая фаза. Отсчёт дней начинается заново, с единицы.
Выход продукта в день i у первой работницы теперь описывается функцией f(i) = 2*(i-1)+n. Нетрудно видеть, что f(1)=n и f(i+1)-f(i)=2. В этом месте я мог неправильно понять условие -- я подумал, что в первый день второй фазы работницы выполнили столько же, сколько в последний день фазы первой. Именно так я понял утверждения о той же "скорости", поэтому f(1)=n.
Опять возимся с суммой:
sum(f(i), 1<=i<=N) = 300 =>
=> 2sum(i)-2N+nN = 300 =>
=> NN+N-2N+nN-300 = 0 =>
=> NN-(n-1)N-300 = 0.
Полученное уравнение решаем относительно N:
N=(n-1 pm sqrt((n-1)(n-1)+4*300))/2 ~ (17,75 pm sqrt(1515))/2 ~ (17,75 pm 38,9)/2 ~ 28,3.
Выход продукта второй работницы описывается функцией g(i) = 3*(i-1)+c(m). Утверждение о сохранении "скорости" я интерпретировал так же как и выше, и закодировал в ограничении g(1)=c(m); напомню, что c(m) -- выход продукта второй работницы в последний день второй фазы (см. начало ответа).
Суммирование в этом случае выглядит как sum(g(i), 1<=i<=M) = 400. Преобразуем в квадратное уравнение, которое, затем, нагло решаем:
3sum(i)-3M+Mc(m) = 400 =>
=> 3(MM+M)/2-3M+M(2(m-1)+1) = 400 =>
=> 3(MM-M)/2-3M+2M(m-1)+M = 400 =>
=> 3MM/2-3M/2-3M+2Mm-2M+M = 400 =>
=> 3MM/2-3M/2-4M+2mM = 400 =>
=> (3/2)MM-(3/2-4+2m)M-400 = 0 =>
=> 1,5MM-11.1M-400 = 0 =>
=> M ~ (11.1 pm sqrt(2523))/3 ~ (11.1 pm 50,2)/3 ~ 20.
Упс. Количество дней, потраченных на выполнение заказа на второй фазе равно для первой работницы N ~ 28,3 дней, а для второй -- M ~ 20 дней. Т.е. начав одновременно, работницы не закончат вторую фазу в один день. (Но смогут завершить всё одновременно, если вторая работница снова опоздает на недельку, точнее говоря, на N-M ~ 8,3 дня).
Основная проблема условия задачи -- отсутствие указания на выход продукта в первый день первой фазы, что вынудило многих (но не всех) авторов ответов принять за разумное умолчание предположение об изготовлении обоими работницами по одному изделию в первый день. Каких-то особых ограничений или дополнительных данных, достаточных для вычисления начальных условий, я не заметил. По организационно-правовым аспектам можно ещё задаться вопросом об отсутствии информации о выходных днях.
P.S. Качественный ответ у меня, в принципе, согласуется с ответами других участников (но не всех): в первой фазе работа может быть завершена в один день, во второй фазе -- нет. А вот количественный ответ получился совсем уже другим. Наверняка, причина в некоторой неаккуратности арифметических выкладок и приближений (или в фиксации начальных условий "от фонаря"). Может быть мне на них укажут в комментариях.

Сумма членов арифметической прогрессии
S=(2a+d(n-1))*n/2 , где S =185, d=1 для Светы и d=2 для Веры, n (количество дней) для них различно, а - количество бархаток, вышитых в первый день, тоже для каждой может быть иным.
Относительно n можно составить квадратное уравнение
-185*2 + 2an + dn^2 - dn = 0
dn^2 + (2a - d)n - 370 = 0
n1,2 = (-(2a - d) +- sqrt(4a^2 - 4ad + d^2 + 4*370*d))/2d
для Светы подкоренное выражение 4a^2 - 4a + 1481
Нужно, чтобы оно было полным квадратом. Подходят значения а = 14, 35, 92, 185. Что будет соответствовать 10, 5, 2 или 1 дням. Последние два варианта как-то вроде не в тему.
Для Веры будут всего два целочисленных возможных корня а = 33, или а = 185. Последний вариант опять же отбрасываем. Значит Вера работала 5 дней.
Сопоставляя значения приходится выбирать для Светы только 10 дней работы и 14 бархаток в первый день. Если бы она в первый день обшила 35, то обоим вышивальщицам потребовалось бы по 5 дней, что  не соответствует условию (на несколько дней позже).
Ответ на первый вопрос утвердительный: смогут закончить в один день
Свете потребуется 10 дней, Вере - 5
Таким образом Света довела свою производительность до 23 бархаток, а Вера до 43.
Теперь мы уже знаем начальную скорость, и снова составляем уравнения
Для Светы 300 = (2*23 + 2 * (n -1))*n/2, работа будет выполнена на 10-й день (n=9,52)
Для Веры 400 = (2*43 + 3*(n-1))*n/2 на восьмой день (n=7,57)
Ответ на второй вопрос отрицательный: нет, в один день не закончат

Задача на арифметические прогрессии:
Разберемся с первой частью задачи.
Имеем две прогрессии a(n) - для Светы, где a(n) - количество бархоток пошитое за 1 день с номером n
И b(m) - для Веры, где b(m) - количество бархоток пошитое за 1 день с номером m
Начальное количество пошитое в первый день неизвестно (a₁ - ?; b₁ - ?) , но известно сумма прогрессии = 185 для каждой. И известны разности прогрессий: d = 1 (для Светы) и f = 2 (для Веры). Еще известно, что m < n+1 (Вера работала меньше на несколько дней чем Света)
Итак все формализовали. Записываем формулу суммы арифметической прогрессии для каждого и решаем.
Начнем с Веры:
S = (2•b₁ + f•(m-1))•m/2 = 185, выразим b₁
b₁ = 185/m - m + 1, Понимаем, что b₁ и m - должны быть натуральными, причем m > 2
Тогда m должно разделить нацело 185 = (1•5•37), то есть m = {1; 5; 37; 185}
m ≠ 1 (по условию) и m ≠ 37 и m ≠ 185 (так как b₁ - будет отрицательным)
Остается m = 5 (Вера работала 5 дней)
тогда b₁ = 33 (в первый день Вера пошила 33 бархотки)
и b₅ = 33 + 2•4 = 41 (В последний день по этому заказу Вера пошила 41 бархотку)
Аналогично для Светы:
S = (2•a₁ + d•(n-1))•n/2 = 185, выразим a₁
2•a₁ = 370/n - n + 1, Понимаем, что a₁ и n - должны быть натуральными, причем n > 6 (Света на несколько дней больше работала, а Вера работала 5 дней)
Тогда n должно разделить нацело 370 = (1•2•5•37), то есть n = {1; 2; 5; 10; 37; 74; 185; 370}
m ≠ {37; 74; 185; 370} (так как a₁ - будет отрицательным) и m ≠ {1; 2; 5} (так как n > 6)
Остается n = 10 (Света работала 10 дней)
тогда a₁ = 14 (в первый день Света пошила 14 бархоток)
и a₁₀ = 14 + 1•9 = 23 (В последний день по этому заказу Света пошила 23 бархотки)
Ответ: по первому заказу они смогут закончить в один день и для этого понадобится Свете - 10 дней, а Вере 5 дней
(Но ответ не совсем верный, но про подвохи в конце)
Вторая часть задачи. Снова арифметические прогрессии, но теперь мы знаем
что Света в первый день по второму заказу пошила a₁ = 23
разность прогрессии: d = 2
и Сумма прогрессии: S(a) = 300
Соответсвенно учитывая формулу S(a) = (2•a₁ + d•(n-1))•n/2
Получим, что на n=9 день Света пошьет всего S(a)= 279 бархоток
а n = 10 день, могла пошить всего S(a) = 320 бархоток, но остановится на 300 и пойдет отдыхать
Итого Свете понадобиться 10 дней на второй заказ
А Вера в первый день по второму заказу пошила b₁ = 41
разность прогрессии: f = 3
и Сумма прогрессии: S(b) = 400 
Соответсвенно учитывая формулу S(b) = (2•b₁ + f•(m-1))•m/2
Получим, что на m=7 день Вера пошьет всего S(b)= 350 бархоток
а m = 8 день, могла пошить всего S(b) = 412 бархоток, но остановится на 400 и пойдет отдыхать
Итого Вере понадобиться 8 дней на второй заказ
Как видим девушкам понадобится разное количество дней на 2 заказ
А теперь про подвох в задаче.
В первой части задачи было ошибочно решено, что девушки должны закончить заказ именно полным рабочим днем учитывая свою производительность. Но это не обязательно. В условии этого нет. И формально, как во второй части задачи, в последний рабочий день, девушки могли шить не полное количество бархоток, потому как их было 185 у каждой.
Решение в общем виде буду дополнять позже: скорее всего это будет пример, чтоб выполнилось и первое и второе условие.

Очень итересный вопрос.Итак,у нас известно только количесто  бархаток и известно, что Света начало раньше, но в задачи не указано срок заказа.
Можно предположить на напримере,что Света начала в понедельник, а Вера только в среду.За это время,Света возможно уже сделала практически половину и чтобы Вере догнать Свету, ей придётся уделить больше времени.
Опять же, нам неизвестно с какой скоростью работают девушки и сколько времени уделяют в день.Можно предположить опять же на напримере,почему Вера лучше работает, чем Света.Вера можно уделить в день 6 часов, а Света 3 часа, но это только мои догадки, так как в условии нет срока заказа и за сколько дней они должны сделать заказ.

Ни при каком раскладе условие 1) выполнить не получится. Ибо единственный вариант для Светы это, начав с 35-ти бархаток, за пять дней вышить 185 штук.
А для Веры этот расклад Светы не подходит никак.
Теперь по условию 2). Так как в условии задачи сказано, что:
Но поскольку нет решения для случая 1), то никак не известно, с какой скоростью они приступают к случаю 2), отчего и этот случай не имеет решения.
Увы и ах.